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tant la première, et une des boules du n^o 2, sortant la seconde. Ce cas est compris deux fois dans le nombre précédent ; car il est compris une fois dans le nombre des cas relatifs à la supposition qu’une des boules numérotées $1$ sortira à son rang, et une seconde fois dans le nombre des cas relatifs à la supposition qu’une des boules numérotée $2$ sortira à son rang ; et, comme cela s’étend à deux boules quelconques sortant à leur rang, on voit qu’il faut retrancher du nombre des cas précédents le nombre de tous les cas dans lesquels deux boules sortent à leur rang.

Le nombre des combinaisons de deux boules de numéros différents est ${\frac {n(n-1)}{1.2}}r^{2}\,;$ car le nombre des numéros étant $n,$ leurs combinaisons deux à deux sont au nombre ${\frac {n(n-1)}{1.2}},$ et dans chacune de ces combinaisons on peut combiner les $r$ boules marquées d’un des numéros avec les $r$ boules marquées de l’autre numéro. Le nombre des combinaisons des $m-2$ boules restantes, prises $n-2$ à $n-2,$ en ayant égard à l’ordre qu’elles observent entre elles, est

$(rn-2)(rn-3)\ldots (rn-n+1)\,;$

ainsi le nombre des cas relatifs à la supposition que deux boules sortent à leur rang est

${\frac {n(n-1)}{1.2}}r^{2}(rn-2)(rn-3)\ldots (rn-n+1)\,;$

en le retranchant du nombre $(a),$ on aura

$(a')\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}&nr(rn-1)(rn-2)\ldots (rn-n+1)\\&-{\frac {n(n-1)}{1.2}}r^{2}(rn-2)(rn-3)\ldots (rn-n+1),\end{aligned}}\right\}$

pour le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins sortira à son rang, pourvu que l’on retranche encore de cette fonction les cas répétés, et qu’on lui ajoute ceux qui manquent.

Ces cas sont ceux dans lesquels trois boules sortent à leur rang. En nommant $k$ ce nombre, il est répété trois fois dans le premier terme de