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$x'$ coups au joueur $\mathrm {B} ,\ x''$ coups au joueur $\mathrm {C} ,$ etc. En nommant $y_{x,x',x'',\ldots }$ la probabilité du joueur $\mathrm {A}$ pour gagner la partie, on a l’équation aux différences partielles

$y_{x,x',x'',\ldots }=py_{x-1,x',x'',\ldots }+qy_{x,x'-1,x'',\ldots }+ry_{x,x',x''-1,\ldots }+\ldots ,$

qui donne pour $y_{x,x',x'',\ldots }$ cette fonction génératrice

${\frac {\mathrm {P+Q+R} +\ldots }{1-pt-qt'-rt''-\ldots }},$

dans laquelle $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ sont autant de fonctions arbitraires des variables $t,t',t'',\ldots$ qu’il y a de ces variables, en ne comprenant point $t$ dans la première, $t'$ dans la deuxième, $t''$ dans la troisième, etc. Or, cette fonction peut être mise sous la forme

${\frac {\mathrm {P} '+\mathrm {Q} 't+\mathrm {R} 'tt'+\mathrm {S} 'tt't''+\ldots }{1-pt-qt'-rt''-st'''-\ldots }},$

$\mathrm {P',Q',R'} ,\ldots$ étant, comme plus haut, des fonctions arbitraires, la première de toutes les variables à l’exception de $t,$ la deuxième de toutes les variables en exceptant $t',$ la troisième également de toutes les variables hormis $t'',$ et ainsi de suite. Pour les déterminer, nous observerons que, dans $y_{x,x',x'',\ldots },$ deux des indices $x,x',x'',\ldots$ ou un plus grand nombre ne peuvent être nuls à la fois, puisque la partie cesse quand l’un des joueurs a atteint ses points ; de plus, $y_{0,x',x'',\ldots }$ est égal à l’unité, quels que soient $x',x'',\ldots \,;$ la fonction génératrice de cette expression, ou celle qui donne l’unité pour le coefficient d’un produit quelconque $t'^{x'}t''^{x''}t'''^{x'''}\ldots ,$ est

${\frac {t'}{1-t'}}\ {\frac {t''}{1-t''}}\ {\frac {t'''}{1-t'''}}\ldots \,;$

par conséquent, on aura

$\mathrm {P} '={\frac {t'}{1-t'}}\ {\frac {t''}{1-t''}}\ {\frac {t'''}{1-t'''}}\ldots (1-qt'-rt''-st'''-\ldots ).$