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donnera pour la fonction génératrice de $y_{x},$ en changeant dans celle de $y'_{x},\ k$ dans ${\frac {1}{k}},\ q$ dans $1-q.$

${\frac {1}{k}}(1-q)u't\left[1+(1-q)t+\ldots +(1-q)^{i-2}t^{i-2}\right]+q^{i}t^{i}.$

Cette quantité est donc égale à $u,$ d’où l’on tire, en y substituant pour $u$ sa valeur précédente,

$u={\frac {q^{i}t^{i}(1-qt)\left[1-(1-q)^{i}t^{i}\right]}{1-t+q(1-q)^{i}t^{i+1}+(1-q)q^{i}t^{i+1}-q^{i}(1-q)^{i}t^{2i}}}.$

En changeant $q$ en $1-q,$ on aura la fonction $u'$ génératrice de $y'_{x}.$ Si l’on divise ces fonctions par $1-t,$ on aura les fonctions génératrices des probabilités respectives de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B}$, pour gagner la partie avant ou au coup $x.$

Si l’on suppose $t=1$ dans $u,$ on aura la probabilité que $\mathrm {A}$ gagnera la partie ; car il est clair qu’en développant $u$ suivant les puissances de $t,$ et en supposant ensuite $t=1,$ la somme de tous les termes de ce développement sera celle de toutes les valeurs de $y_{x}.$ On trouve ainsi la probabilité de $\mathrm {A}$ pour gagner la partie égale à

${\frac {\left[1-(1-q)^{i}\right]q^{i-1}}{(1-q)^{i-1}+q^{i-1}-q^{i-1}(1-q)^{i-1}}}\,;$

la probabilité de $\mathrm {B}$ est donc

${\frac {(1-q)^{i-1}\left[1-q^{i}\right]}{(1-q)^{i-1}+q^{i-1}-q^{i-1}(1-q)^{i-1}}}.$

Supposons maintenant que les joueurs, à chaque coup qu’ils perdent, déposent un franc au jeu, et déterminons leur sort respectif. Il est clair que le gain du joueur $\mathrm {A}$ sera $x,$ s’il gagne la partie au coup $x,$ puisqu’il y aura $x$ francs déposés au jeu ; ainsi la probabilité de cet événement étant $y_{x}$ par ce qui précède, $\mathrm {S} xy_{x}$ sera l’expression de l’avantage de $\mathrm {A}$, le signe $\mathrm {S}$ s’étendant à toutes les valeurs possibles de $x.$ La fonction génératrice de $y_{x}$ étant $u$ ou $\mathrm {{\frac {T'}{T}}\ T'}$ étant le numérateur de l’expression précédente de $u,$ et $\mathrm {T}$ étant son dénominateur, il est facile de voir que