Maintenant, si l’on repasse des fonctions génératrices à leurs coefficients, et si l’on observe que 
est nul, parce que le joueur 
perd nécessairement la partie lorsqu’il n’a plus de jetons, l’équation précédente donnera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients.
![{\displaystyle \times \left[\mathrm {X} ^{(x-1)}y_{1,x+x'-1}+\mathrm {X} ^{(x-3)}y_{1,x+x'-3}+\ldots +\mathrm {X} ^{(x-2r-1)}y_{1,x+x'-2r-1}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60ccc82315fd4d5f82a9952e8cbcd785528e461)
la série du second membre s’arrêtant lorsque 
a une valeur négative. 
sont les coefficients de 
dans le développement de la fonction
Si l’on nomme 
le coefficient de 
dans le développement de 
sera une fonction de 
et de 
génératrice de 
Si l’on nomme pareillement 
le coefficient de 
dans le développement de 
le produit de 
par la fonction 
sera la fonction génératrice du second membre de l’équation précédente ; cette fonction est donc égale à 
Supposons 
alors 
devient 
et cette quantité est égale à l’unité ; car il est certain que a gagné la partie, lorsqu’il a gagné tous les jetons de 
est donc alors la fonction génératrice de l’unité ; or 
est ici zéro ou un nombre pair, car le nombre des coups dans lesquels peut gagner la partie est égal à 
plus un nombre pair : en effet, doit pour cela gagner tous les jetons de 
, et de plus il doit regagner chaque jeton qu’il a perdu, ce qui exige deux coups. Ensuite, 
exprimant un nombre de coups dans lequel peut gagner la partie, il est égal à plus un nombre pair ; étant le nombre des coups qui manquent au joueur pour arriver à 
est donc zéro ou un nombre pair. De là il suit que, dans le cas de 
devient 
on
