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LIVRE PREMIER.

cette intégrale devient, en supposant ${\frac {a-bn}{\sqrt {m-n^{2}}}}=a',$

$\int {\frac {(a'+bx')dx'\left[\cos \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)\cos rn+\sin \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)\sin rn\right]}{1+x'^{2}}}.$

Cette intégrale doit être prise comme celle relative à $x$, depuis $x'=-\infty$ jusqu’à $x'=\infty \,;$ or l’intégrale $\int {\frac {x'dx'\cos \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)}{1+x'^{2}}},$ prise dans ces limites, est nulle, parce que ses éléments négatifs détruisent ses éléments positifs correspondants ; il en est de même de l’intégrale $\int {\frac {dx'\sin \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)}{1+x'^{2}}}\,;$ la fonction intégrale précédente se réduit donc à

$\int {\frac {\left[a'\cos rn\cos \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)+b\sin rn\sin \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)x'\right]dx'}{1+x'^{2}}}.$

On a, par ce qui précède,

$\int {\frac {dx'\cos \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)}{1+x'^{2}}}=\pi c^{-r{\sqrt {m-n^{2}}}}.$

En différenciant cette expression par rapport à $r,$ on a

$\int {\frac {x'dx'\sin \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)}{1+x'^{2}}}=\pi c^{-r{\sqrt {m-n^{2}}}}\,;$

on a donc

$\int {\frac {(a+bx)dx\cos rx}{m+2nx+x^{2}}}=(a'\cos rn+b\sin rn)\pi c^{-r{\sqrt {m-n^{2}}}}.$

On trouvera, par la même analyse,

$\int {\frac {(a+bx)dx\sin rx}{m+2nx+x^{2}}}=(b\cos rn-a'\sin rn)\pi c^{-r{\sqrt {m-n^{2}}}}.$

Si l’on différentie la première de ces deux équations $i-1$ fois par rapport à $m$ et ensuite $2s$ fois par rapport à $r,$ on aura l’expression de l’intégrale

$(i)\qquad \qquad \qquad \qquad \int {\frac {x^{2s}dx(a+bx)\cos rx}{(m+2nx+x^{2})^{i}}}.$

Maintenant, $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des fonctions rationnelles et entières de $x,$