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Intégration de l’équation

$0=\mathrm {V} +s\mathrm {T} +s'\mathrm {R} ,$

$\mathrm {V,T,R}$ étant des fonctions quelconques linéaires de $y_{s,s'}$ et de ses différences ordinaires et partielles, finies et infiniment petites. N^o 32 

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Chapitre III. — application des méthodes précédentes à l’approximation de diverses fonctions de très grands nombres 

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De l’approximation des produits composes d’un grand nombre de facteurs et des termes des polynômes élevés à de grandes puissances 

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L’intégrale de l’équation $0=(s+1)y_{s}-y_{s-1},$ approchée par les méthodes du Chapitre précédent et comparée à son intégrale finie, donne, par une série très convergente, le produit $(\mu +1)(\mu +2)\ldots s.$ En faisant $s$ négatif et passant du positif au négatif et du réel à l’imaginaire, on parvient à cette équation remarquable

${\frac {2\pi (-1)^{-{\frac {1}{2}}-\mu }}{\int x^{\mu -1}dxc^{-x}}}=\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}},$

la première intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, et la dernière intégrale étant prise entre les limites imaginaires de $x$ qui rendent nulle la fonction ${\frac {c^{-x}}{x^{\mu }}},\,;$ ce qui donne un moyen facile d’avoir l’intégrale $\int {\frac {dx{\begin{aligned}\cos \\\sin \end{aligned}}x}{x^{\mu }}},$ prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini. Cette équation donne encore la valeur des intégrales

$\int {\frac {d\varpi \cos \varpi }{1+\varpi ^{2}}},\qquad \int {\frac {\varpi d\varpi \sin \varpi }{1+\varpi ^{2}}},$

prises depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi$ infini. On trouve ${\frac {\pi }{2c}}$ pour ces intégrales ; leur accord avec les résultats du n^o 26 prouve la justesse de ces passages du positif au négatif et du réel à l’imaginaire : ces divers résultats ont été donnés dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782. N^o 33 

 128

Intégrale approchée de l’équation $0=(a'+b's)y_{s+1}-(a+bs)y_{s},$ d’où l’on tire, par une série simple et très convergente, le terme moyen ou indépendant de $a$ du binôme $\left(a+{\frac {1}{a}}\right)^{2s}.$
N^o 34 

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Méthode générale pour avoir, par une série convergente, le terme moyen ou indépendant de $a,$ dans le développement du polynôme

$a^{-n}+a^{-n+1}+a^{-n+2}+\ldots a^{n-1}+a^{n}$

élevé à une très haute puissance. N^o 35 

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Expressions, en série convergente, du coefficient de $as^{\pm l}$ dans le développement de cette puissance, et de la somme de ses coefficients, depuis celui de $a^{-l}$ jusqu’à celui de $a^{l}.$ N^o 36 

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Intégration par approximation de l’équation aux différences $p^{s}=sy_{s}+(s-i)y_{s+1}.$ On en déduit l’expression de la somme des termes de la puissance très élevée d’un binôme, en arrêtant son développement à un terme quelconque fort éloigné du premier. N^o 37 

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