125
LIVRE PREMIER.
32. L’analyse exposée dans les numéros précédents s’étend encore aux équations à différences partielles, finies et infiniment petites. Pour cela, considérons d’abord l’équation linéaire aux différentielles partielles dont les coefficients sont constants. En désignant par 
la variable principale, 
et 
étant les deux variables dont elle est fonction, et représentant cette équation par celle-ci, 
étant une fonction linéaire de et de ses différences partielles, on y supposera
étant une fonction de 
alors l’équation 
prend cette forme
étant une fonction de 
et de 
sans ni 
En égalant donc à zéro, on aura la valeur de 
en 
et cette valeur, substituée dans l’intégrale 
donnera l’expression générale 
dans laquelle est une fonction arbitraire de les limites de l’intégrale étant indépendantes de , mais d’ailleurs arbitraires. Si l’équation proposée est de l’ordre 
il faudra, au moyen de l’équation 
déterminer un nombre 
de valeurs de en 
La somme des valeurs de 
qui en résulteront, et dans lesquelles on pourra mettre pour des fonctions arbitraires différentes de sera l’expression de 
Il résulte de ce que nous avons dit dans la première Partie de ce Livre que l’équation 
est l’équation génératrice de l’équation proposée 
Considérons présentement l’équation aux différences partielles
dans laquelle 
et 
sont des fonctions quelconques linéaires de et de ses différences partielles, soit finies, soit infiniment petites. Si l’on y suppose, comme ci-dessus,
