et ainsi de suite. La probabilité qu’aucun de ces individus n’existera à cette époque est donc
En retranchant ce produit de l’unité, la différence sera la probabilité qu’un de ces individus au moins sera vivant à la fin de la ième année de la constitution de la rente. Nommons cette probabilité ; sera le capital actuel équivalent à la rente viagère Mais on doit observer, en prenant cette intégrale, que les quantités sont nulles, lorsque leurs indices surpassent le nombre étant la limite de la vie.
Si est une fonction rationnelle et entière de et d’exponentielles telles que on aura facilement, par les formules du Livre Ier, l’intégrale mais on peut dans tous les cas former, au moyen d’une Table de mortalité, tous les termes de cette intégrale, en prendre la somme et construire ainsi des Tables de rentes viagères sur une ou plusieurs têtes.
L’analyse précédente sert pareillement à déterminer la rente viagère que l’on doit faire à un établissement pour assurer à ses héritiers un capital après sa mort. Le capital équivalent à la rente viagère faite à une personne de l’âge est, par ce qui précède, le signe comprenant tous les termes inclusivement, depuis jusqu’à la limite de la vie de la personne. Nommons cette intégrale, et imaginons que l’établissement reçoive de cette personne la rente et lui donne en échange le capital Concevons ensuite que la même personne place ce capital à intérêt perpétuel sur l’établissement lui-même, l’intérêt annuel de l’unité étant ou Il est clair que l’établissement doit rendre le capital aux héritiers de la personne. Mais elle a fait pendant sa vie la rente à l’établissement, et elle en a reçu la rente la rente qu’elle a faite réellement est donc
![{\displaystyle h\left[1-{\frac {q(1-p)}{p}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4169e8fa1c3af575e61d3d5884f7eb2f99b613c6)
