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et conséquemment

$z_{x,x'}=p\left(p'z_{x-1,x'-1}+q'z_{x-1,x'}\right)+\left(p'z_{x,x'-1}+q'z_{x,x'}\right)$ ^[1]

ou

$z_{x,x'}={\frac {pq'}{1-qq'}}z_{x-1,x'}+{\frac {p'q}{1-qq'}}z_{x,x'-1}+{\frac {pp'}{1-qq'}}z_{x-1,x'-1},$

et en faisant

${\frac {pq'}{1-qq'}}=m\qquad {\frac {p'q}{1-qq'}}=m'\quad$et$\quad {\frac {pp'}{1-qq'}}=n,$

il viendra

$z_{x,x'}=mz_{x-1,x'}+m'z_{x,x'-1}+nz_{x-1,x'-1}.$

La fonction génératrice de $z_{x,x'},$ dans cette équation aux différences partielles, est

${\frac {\mathrm {A+A'} }{1-mt-m't'-ntt'}},$

$\mathrm {A}$ étant une fonction arbitraire de $t,$ et $\mathrm {A} '$ une autre fonction arbitraire de $t'\,;$ j’observe d’abord qu’en attribuant à la fonction $\mathrm {A} '$ le terme indépendant de $t$ dans la fonction $\mathrm {A} ,$ la fonction génératrice ci-dessus peut se mettre sous cette forme

${\frac {\mathrm {A} _{1}t+\mathrm {A} '_{1}}{1-mt-m't'-ntt'}},$

$\mathrm {A} _{1}$ et $\mathrm {A} '_{1}$ étant de nouvelles fonctions arbitraires de $t$ et de $t'$ qu’il s’agit

1. On arrive encore à cette équation aux différences partielles en considérant l’ensemble des deux tirages successifs de $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ comme un coup, et en examinant les différents cas qui peuvent se présenter après ce coup joué ; or ils sont au nombre de quatre : 1^o ou les deux joueurs amènent chacun une boule blanche, événement dont la probabilité est $pp'\,;$ alors la probabilité $z_{x,x'}$ se changera en celle-ci $z_{x-1,x'-1}\,;$ 2^o ou le premier joueur extrait une boule blanche et le second une noire ; dans cette hypothèse, qui a pour probabilité $pq',\ z_{x,x'}$ deviendra $z_{x-1,x'}\,;$ 3^o ou au contraire le premier joueur fait sortir une boule noire et le second une blanche ; dans cette hypothèse, qui a pour probabilité $p'q,\ z_{x,x'}$ deviendra $z_{x,x'-1}\,;$ 4^o ou enfin l’un et l’autre joueur tirent une boule noire, événement dont la probabilité est $qq',$ et alors la probabilité $z_{x,x'}$ reste la même. On aura donc, par les principes connus des probabilités, l’équation
   $z_{x,x'}=pp'z_{x-1,x'-1}+pq'z_{x-1,x'}+p'qz_{x,x'-1}+qq'z_{x,x'}.$

   On obtient la fonction génératrice de $z_{x,x'},$ dans cette équation aux différences partielles, en appliquant à ce cas la règle générale qui vient d’être exposée.