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ainsi ce que la loterie doit rendre est le quotient de la mise divisée par la probabilité du joueur pour gagner.

4. Une loterie étant composée de $n$ numéros dont $r$ sortent à chaque tirage, on demande la probabilité qu’après $i$ tirages tous les numéros seront sortis.

Nommons $z_{n,q}$ le nombre des cas dans lesquels, après $i$ tirages, la totalité des numéros $1,2,3,\ldots ,q$ sera sortie. Il est clair que ce nombre est égal au nombre $z_{n,q-1}$ de cas dans lesquels les numéros $1,2,3,\ldots q-1,$ sont sortis, moins le nombre de cas dans lesquels, ces numéros étant sortis, le numéro $q$ n’est pas sorti ; or ce dernier nombre est évidemment le même que celui des cas dans lesquels les numéros $1,2,3,\ldots q-1,$ seraient sortis, si l’on ôtait le numéro $q$ des $n$ numéros de la loterie, et ce nombre est $z_{n-1,q-1}\,;$ on a donc

$(i)\qquad \qquad \qquad \qquad z_{n,q}=z_{n,q-1}-z_{n-1,q-1}.$

Maintenant le nombre de tous les cas possibles dans un seul tirage étant ${\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}},$ celui de tous les cas possibles dans $i$ tirages est

$\left[{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}.$

Le nombre de tous les cas dans lesquels le numéro $i$ ne sortira pas dans ces $i$ tirages est le nombre de tous les cas possibles, lorsqu’on retranche ce numéro des $n$ numéros de la loterie, et ce nombre est

$\left[{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-r)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}\,;$

le nombre des cas dans lesquels le numéro $1$ sera sorti dans $i$ tirages est donc

$\left[{\frac {n(n-1)\ldots (n-r+1)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}-\left[{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-r)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i},$

ou

$\Delta \left[{\frac {(n-1)(n-2)\ldots (n-r)}{1.2.3\ldots r}}\right]^{i}\,;$