Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/356

les intégrales étant prises depuis $x$ et $x'$ nuls jusqu’à $x$ et $x'$ infinis ; on aura donc

$\int {\frac {dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)}{x^{i+1}}}={\frac {(-1)^{r+1}\int {\cfrac {dx'c^{-x'}}{x'^{\frac {m}{n}}}}\Delta ^{n}s^{i}}{{\cfrac {m}{n}}\left(1+{\cfrac {m}{n}}\right)\left(2+{\cfrac {m}{n}}\right)\ldots i}}.$

En substituant pour $\left(1+{\cfrac {m}{n}}\right)\left(2+{\cfrac {m}{n}}\right)\ldots i$ sa valeur ${\frac {\int x^{i}dxc^{-x}}{\int x^{\frac {m}{n}}dxc^{-x}}},$ et observant que l’on a, par ce qui précède,

${\frac {n}{m}}\int x'^{-{\frac {m}{n}}}dx'c^{-x'}\int x^{\frac {m}{n}}dxc^{-x}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {m}{n}}\pi }},$

on aura la formule $(\mu ''').$

Si $i$ est un très grand nombre, on aura, par le n^o 33, l’intégrale

$\int x^{i}dxc^{-x}\,;$

on aura ensuite, par ce qui précède, l’intégrale

$\int {\cfrac {dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}}{x^{i+1}}}\,;$

ainsi l’on obtiendra, par une série très convergente, la valeur du second membre de la formule citée.

Supposons $i$ infiniment petit, $r$ sera nul, et ${\frac {m}{n}}$ sera une fraction infiniment petite ; on aura donc

${\begin{aligned}&\sin {\frac {m}{n}}\pi ={\frac {m}{n}}\pi =i\pi \\&\Delta ^{n}\left({\frac {s^{i}-1}{i}}\right)=\Delta ^{n}\log s.\end{aligned}}$

La formule $(\mu ''')$ donnera ainsi

$\Delta ^{n}\log s=-\int {\frac {c^{-sx}dx}{x}}\left(c^{-x}-1\right)^{n},$

expression que l’on réduira facilement en série convergente, lorsque $n$ est un grand nombre.