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Concevons que la valeur de $i$ soit ${\frac {nq'^{2}}{p'^{2}}}+s,\ s$ sera l’erreur de cette expression de $i.$ On a vu, dans le n^o 30, que si l’on a observé que, sur un très grand nombre $p$ d’individus de l’âge $a,\ q$ sont parvenus à l’âge $a+x,$ la probabilité que, sur $p'$ autres individus de l’âge $a,\ {\frac {p'q}{p}}+z$ parviendront à l’âge $a+x,$ est

${\sqrt {\frac {p^{3}}{2qp'(p-q)(p+p')\pi }}}c^{-{\frac {p^{3}z^{2}}{2qp'(p-q)(p+p')}}}.$

Si l’on suppose $p$ et $q$ infinis, on aura évidemment

$\varphi ={\frac {q}{p}},$

et, si l’on fait

${\frac {p'q}{p}}+z=q',$

on aura

$\varphi ={\frac {q'}{p'}}-{\frac {z}{p'}},$

ce qui donne à très peu près, en négligeant le carré ${\frac {nz^{2}}{p'^{2}}},$

$n\varphi ^{2}={\frac {nq'^{2}}{p'^{2}}}-{\frac {2nq'z}{p'^{2}}}\,;$

ainsi la probabilité précédente de $z$ est en même temps la probabilité de cette expression de $n\varphi ^{2}.$ Supposons maintenant $i=n\varphi ^{2}+l\,;$ en considérant le binôme $\left[\varphi ^{2}+\left(1-\varphi ^{2}\right)\right]^{n},$ la probabilité de cette expression de $i$ est, par le n^o 16,

${\frac {1}{\sqrt {2n\pi \varphi ^{2}\left(1-\varphi ^{2}\right)}}}c^{-{\frac {l^{2}}{2n\varphi ^{2}\left(1-\varphi ^{2}\right)}}}.$

Mais la valeur précédente de $i$ devient, en y substituant pour $n\varphi ^{2}$ sa valeur,

$i={\frac {nq'^{2}}{p'^{2}}}-{\frac {2nq'z}{p'^{2}}}+l\,;$

la probabilité de cette dernière expression de $i$ est égale au produit de