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ou

${\frac {-4r\mathrm {A} ^{(r)}}{(s+1)\ldots (s+r-1)}}+{\frac {4r(r+1)\mathrm {A} ^{(r)}}{(s+1)\ldots (s+r)}}.$

Le terme de $u_{s}$ dépendant de $\mathrm {A} ^{(r+1)}$ produira des termes semblables, et ainsi des autres. En comparant donc dans l’équation $(l)$ les termes qui ont le même dénominateur $(s+1)\ldots (s+r),$ on aura

$0=4r(r+1)\mathrm {A} ^{(r)}-4(r+1)\mathrm {A} ^{(r+1)}+\mathrm {A} ^{(r)},$

ce qui donne

$\mathrm {A} ^{(r+1)}={\frac {(2r+1)^{2}\mathrm {A} ^{(r)}}{4(r+1)}}.$

Il est visible, par ce qui précède, que $u_{s}$ se réduit à l’unité lorsque $s$ est infini, ce qui donne $\mathrm {A} ^{(0)}=1.$ De là on tire

$u_{s}={\frac {1^{2}}{4(s+1)}}+{\frac {1^{2}.3^{2}}{4^{2}.1.2(s+1)(s+2)}}+{\frac {1^{2}.3^{2}.5^{2}}{4^{3}.1.2.3(s+1)(s+2)(s+3)}}$

$+\ldots ={\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}.$

Le rapport du terme moyen du binôme $(1+1)^{2s}$ au binôme entier est

${\frac {(s+1)(s+2)\ldots 2s}{2^{2s}.1.2.3\ldots s}}$

ou

${\frac {1.3.5\ldots (2s-1)}{2.4.6\ldots 2s}}.$

En nommant donc $\mathrm {T}$ ce terme moyen, la formule (B) donnera

$\mathrm {T} ^{2}={\frac {1}{s\pi u_{s}}}.$

Ce théorème et l’expression précédente de $u_{s}$ en série sont dus à Stirling, et l’on voit comme ils se rattachent au théorème et à l’analyse de Wallis. Cette valeur de $\mathrm {T} ^{2}$ peut servir à déterminer par approximation le rapport de la circonférence au diamètre, ce qui était l’objet de Wallis ; ou, ce rapport étant supposé connu, elle donne le terme moyen du binôme, ce qui était l’objet de Stirling.