ques, une équation du second degré dont les racines sont ces rapports. Par là, Moivre décompose la suite récurrente en deux progressions géométriques, multipliées chacune par une constante arbitraire, qu’il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite récurrente. Ce procédé ingénieux est au fond celui que d’Alembert a depuis employé pour l’intégration des équations linéaires aux différences infiniment petites à coefficients constants, et que Lagrange a transporté aux équations semblables à différences finies.
Ensuite, j’ai considéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d’abord sous la dénomination de suites récurro-récurrentes, et après, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple d’intégrer toutes ces équations me paraît être celle que j’ai fondée sur la considération des fonctions génératrices, dont voici l’idée.
Si l’on conçoit une fonction d’une variable t, développée dans une série ascendante par rapport aux puissances de cette variable, le coefficient de l’une quelconque de ces puissances sera une fonction de l’exposant ou indice de cette puissance. est ce que je nomme fonction génératrice de ce coefficient ou de la fonction de l’indice.
Maintenant, si l’on multiplie la série par une fonction linéaire de la même variable t, telle, par exemple, que l’unité plus deux fois cette variable, le produit sera une nouvelle fonction génératrice, dans laquelle le coefficient d’une puissance quelconque de la variable sera égal au coefficient de la même puissance dans plus au double du coefficient de la puissance inférieure d’une unité. Ainsi la fonction de l’indice, dans le produit, égalera la fonction de l’indice dans plus le double de cette même fonction dans laquelle l’indice est diminué de l’unité. Cette fonction de l’indice dans le développement du produit est ainsi une dérivée de la fonction de l’indice dans dérivée que l’on peut exprimer par une caractéristique placée devant cette dernière fonction. La dérivation indiquée par la caractéristique dépend du multiplicateur de que nous désignerons par et que nous supposerons développé, comme par rapport aux puissances de la variable t.
