Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/462

Supposons que l’on ait

${\begin{aligned}\varphi (t)+l^{q}\varphi '(q+t)\quad +l^{q'}\varphi ''(q'+t)\ \ \ +\ldots =&\mathrm {A} +\mathrm {B} t+\mathrm {C} t^{2}+\ldots ,\\\varphi _{1}(t_{1})+l_{1}^{q}\varphi '_{1}(q_{1}+t_{1})+l^{q'_{1}}\varphi ''_{1}(q'_{1}+t_{1})+\ldots =&\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{1}t_{1}+\mathrm {C} _{1}t_{1}^{2}+\ldots ,\\\varphi _{2}(t_{2})+l_{2}^{q}\varphi '_{2}(q_{2}+t_{2})+l^{q'_{2}}\varphi ''_{2}(q'_{2}+t_{2})+\ldots =&\mathrm {A} _{2}+\mathrm {B} _{2}t_{2}+\mathrm {C} _{2}t_{2}^{2}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et désignons par $\mathrm {H} t^{n}t_{1}^{n_{1}}t_{2}^{n_{2}}\ldots$ un terme quelconque de

$\psi (k+t,k_{1}+t_{1},k_{2}+t_{2},\ldots )\,;$

il est facile de s’assurer que la partie de $\Pi (s)$ correspondante à ce terme est

(B)

$\left\{{\begin{aligned}&1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n_{1}.1.2.3\ldots n_{2}\ldots \mathrm {H} s^{i+n+n_{1}+n_{2}+\ldots -1}\\&\times \left[\mathrm {A} \ \ +(n\ +1)\mathrm {B} \ \ s+(n\ \ +1)(n\ \ +2)\mathrm {C} \ \ s^{2}+\ldots \right]\\&\times \left[\mathrm {A} _{1}+(n_{1}+1)\mathrm {B} _{1}s+(n_{1}+1)(n_{1}+2)\mathrm {C} _{1}s^{2}+\ldots \right]\\&\times \left[\mathrm {A} _{2}+(n_{2}+1)\mathrm {B} _{2}s+(n_{2}+1)(n_{2}+2)\mathrm {C} _{2}s^{2}+\ldots \right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

pourvu que, dans le développement de cette quantité, au lieu d’une puissance quelconque $a$ de $s,$ on écrive ${\frac {s^{n}}{1.2.3\ldots a}}.$ On aura ensuite la partie correspondante de la somme entière des valeurs de $\psi (t,t_{1},t_{2},\ldots ),$ multipliées par leurs probabilités respectives, en changeant un terme quelconque de ce développement, tel que $\mathrm {H} \lambda t^{\mu }s^{a}$ dans $\mathrm {H} \lambda (s-\mu )^{a},$ et en substituant dans $\mathrm {H}$, au lieu de $k,$ la partie de l’exposant $\mu$ qui est relative à la variable $t$, au lieu de $k_{1}$ la partie relative à $t_{1},$ et ainsi du reste.

Si dans la formule (B) on suppose $\mathrm {H} =1,$ et $n,n_{1},n_{2},\ldots$ nuls, on aura la somme des valeurs de l’unité multipliées par leur probabilité respective ; or il est visible que cette somme n’est autre chose que la somme de toutes les combinaisons dans lesquelles l’équation

$t+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{i-1}=s$

a lieu, multipliées par leur probabilité ; elle exprime conséquemment