Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/767

Les facteurs précédents deviendront ainsi, en faisant ${\frac {x_{r}}{p_{r}}}=\zeta ,$

${\begin{aligned}1-p_{1}\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}},&\\2-p_{1}\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}},&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\\1-p_{r-1}\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}},&\\1-p_{r+1}\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}},&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\\1-p_{n}\quad \zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}.&\end{aligned}}$

Si l’on désigne par $\varphi ''(0)$ la valeur de ${\frac {d^{2}\varphi (x)}{dx^{2}}}$ lorsque $x$ est nul, $\varphi (x_{r})$ devient

$\varphi (0)+{\frac {1}{2}}p_{r}^{2}\zeta ^{2}\varphi ''(0).$

La somme des logarithmes hyperboliques de tous ces facteurs est, aux quantités près de l’ordre $\zeta ^{3},$ en divisant le facteur $\varphi (x_{r})$ par $\varphi (0),$

${\begin{aligned}-\zeta &{\frac {\varphi (0)}{k}}\left(p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{r-1}-p_{r+1}-p_{r+2}-\ldots -p_{n}\right)\\&-{\frac {\zeta ^{2}}{2}}\left[{\frac {\varphi (0)}{k}}\right]^{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\ldots +p_{r}^{2}+p_{r+1}^{2}+\ldots +p_{n}^{2}\right)\\&+{\frac {1}{2}}p_{r}^{2}\zeta ^{2}\left\{{\frac {\varphi ''(0)}{k}}+\left[{\frac {\varphi (0)}{k}}\right]^{2}\right\}.\end{aligned}}$

La probabilité de $\zeta$ est donc proportionnelle à la base $c$ des logarithmes hyperboliques, élevée à une puissance dont l’exposant est la fonction précédente. On doit observer qu’en vertu des conditions auxquelles le choix de l’équation $r$^ième est assujetti, la quantité

$p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{r-1}-p_{r+1}-p_{r+2}-\ldots -p_{n}$

est, abstraction faite du signe, une quantité moindre que $p_{r},$ et