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LIVRE PREMIER.

on aura

$\left(1+'\Delta y_{x,x',\ldots }\right)^{i}=\left(1+dx{\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx}}\right)^{\frac {\alpha }{dx}}=c^{\alpha {\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx}}},$

$c$ étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. On aura pareillement

$\left(1+''\Delta y_{x,x',\ldots }\right)^{i'}=c^{\alpha '{\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx'}}},$

et ainsi de suite ; partant

${\begin{aligned}{\overline {\Delta }}^{n}y_{x,x',\ldots }=&\left(c^{\alpha {\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx}}+\alpha '{\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx'}}}-1\right)^{n},\\{\overline {\Sigma }}^{n}y_{x,x',\ldots }=&{\frac {1}{\left(c^{\alpha {\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx}}+\alpha '{\frac {dy_{x,x',\ldots }}{dx'}}}-1\right)^{n}}},\end{aligned}}$

$x$ variant de $\alpha ,\ x'$ de $\alpha ',\ldots ,$ dans les deux premiers membres de ces équations.

Si, au lieu de supposer et infiniment petit, on le suppose égal à l’unité, et $i$ infiniment petit et égal à $dx\,;$ si l’on suppose encore $i',i'',\ldots$ infiniment petits et respectivement égaux à $dx',dx'',\ldots ,$ on aura

$\left(1+'\Delta y_{x,x',\ldots }\right)^{i}=\left(1+'\Delta y_{x,x',\ldots }\right)^{dx}=1+dx\log \left(1+'\Delta y_{x,x',\ldots }\right)\,;$

on aura pareillement

$\left(1+''\Delta y_{x,x',\ldots }\right)^{i'}=1+dx'\log \left(1+''\Delta y_{x,x',\ldots }\right),$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D’ailleurs ${\overline {\Delta }}^{n}y_{x,x',\ldots }$ se change alors dans $d^{n}y_{x,x',\ldots }\,;$ on aura donc

$d^{n}y_{x,x',\ldots }=\left[dx\log \left(1+'\Delta y_{x,x',\ldots }\right)+dx'\log \left(1+''\Delta y_{x,x',\ldots }\right)+\ldots \right]^{n},$

équation qui, en faisant $n$ négatif, subsiste encore, pourvu que l’on change les différences négatives en intégrales. Ces divers résultats sont analogues à ceux que nous avons trouvés dans le n^o 10, relativement aux fonctions d’une seule variable, et l’on y retrouve l’analogie que nous avons observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.