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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

le quotient de cette division ; on aura

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {u}{1-{\cfrac {1}{t}}}}&={\frac {u.h}{k}}\left(1+{\frac {z}{k}}+{\frac {z^{2}}{k^{2}}}+{\frac {z^{3}}{k^{3}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {u.h^{(1)}}{kt}}\left(1+{\frac {z}{k}}+{\frac {z^{2}}{k^{2}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {u.h^{(2)}}{kt^{2}}}\left(1+{\frac {z}{k}}+{\frac {z^{2}}{k^{2}}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

${\begin{aligned}\mathrm {S} y_{x}\alpha ^{x}&={\frac {hy_{x}\alpha ^{x}}{k}}+{\frac {h\Pi \left(y_{x}\alpha ^{x}\right)}{k^{2}}}+{\frac {h\Pi ^{2}\left(y_{x}\alpha ^{x}\right)}{k^{3}}}+\ldots \\&+{\frac {h^{(1)}y_{x+1}\alpha ^{x+1}}{k}}+{\frac {h^{(1)}\Pi \left(y_{x+1}\alpha ^{x+1}\right)}{k^{2}}}+\ldots \\&+{\frac {h^{(2)}y_{x+2}\alpha ^{x+2}}{k}}+{\frac {h^{(2)}\Pi \left(y_{x+2}\alpha ^{x+2}\right)}{k^{2}}}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Le signe $\mathrm {S}$ désigne la somme des termes depuis $x\,;$ inclusivement jusqu’à l’infini. Supposons maintenant

$z=a+{\frac {b}{\alpha t}}+{\frac {c}{\alpha ^{2}t^{2}}}+{\frac {e}{\alpha ^{3}t^{3}}}+\ldots \,;$

on aura

$\Pi \left(y_{x}\alpha ^{x}\right)=\alpha ^{x}\left(ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+ey_{x+3}+\ldots \right).$

En désignant par $\nabla y_{x}$ la quantité $ay_{x}+by_{x+1}+\ldots$ on aura

$\Pi \left(y_{x}\alpha ^{x}\right)=\alpha ^{x}\nabla y_{x},$

et généralement on aura

$\Pi ^{r}\left(y_{x}\alpha ^{x}\right)=\alpha ^{x}\nabla ^{r}y_{x},$

On a ensuite

$k=a+{\frac {b}{\alpha }}+{\frac {c}{\alpha ^{2}}}+{\frac {e}{\alpha ^{3}}}+\ldots ,$