entiers, et lorsqu’elle est prise depuis nul jusqu’à il trouva qu’elle est égale à Si les indices et sont fractionnaires et égaux à cette intégrale exprime le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre. Wallis s’attacha donc à interpoler le produit précédent, dans le cas où et sont des nombres fractionnaires, problème entièrement nouveau à l’époque où cet illustre géomètre s’en occupa, et qu’il parvint à résoudre par une méthode fort ingénieuse qui contient les germes des théories des interpolations et des intégrales définies, dont les géomètres se sont tant occupés, et qui sont l’objet d’une grande partie de cet Ouvrage. Il obtint de cette manière l’expression du rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, par un produit d’une infinité de facteurs, qui donne des valeurs de plus en plus approchées de ce rapport, à mesure que l’on considère un plus grand nombre de ces facteurs, résultat l’un des plus singuliers de l’Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les indices fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l’avait fait avant lui. On voit la notation des puissances radicales par les exposants fractionnaires employée pour la première fois dans les lettres de Newton à Oldenburg, insérées dans le Commercium epistolicum. En comparant par la voie de l’induction, dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances du binôme avec les coefficients des termes de son développement, dans le cas où ces exposants sont des nombres entiers, il détermina la loi de ces coefficients, et il l’étendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et aux puissances négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent l’influence d’une notation heureuse sur toute l’Analyse.
Cette notation a encore l’avantage de donner l’idée la plus simple et la plus juste des logarithmes, qui ne sont en effet que les exposants entiers et fractionnaires d’une même grandeur dont les diverses puissances représentent tous les nombres. Mais l’extension la plus importante que cette notation ait reçue est celle des exposants variables, ce
