tités algébriques, et infiniment petits dans les quantités logarithmiques.
On peut encore établir en principe qu’une fonction radicale d’une variable ne peut pas être identique avec une fonction rationnelle de la même variable ou avec une autre fonction radicale. Ainsi est essentiellement distinct de et de
Ces principes, fondés sur la nature même des fonctions, peuvent être d’une grande utilité dans les recherches analytiques, en indiquant les formes dont les fonctions que l’on se propose de trouver sont susceptibles, et en démontrant leur impossibilité dans un grand nombre de cas ; mais alors il faut être bien sur de n’omettre aucune des formes possibles. Ainsi la différentiation laissant subsister les quantités exponentielles et radicales, et ne faisant disparaître les quantités logarithmiques qu’au tant qu’elles sont multipliées par des constantes, on doit en conclure que l’intégrale d’une fonction différentielle ne peut renfermer d’autres quantités exponentielles et radicales que celles qui sont contenues dans cette fonction. Par ce moyen, j’ai reconnu que l’on ne peut pas obtenir en fonction finie, explicite ou implicite, de la variable l’intégrale J’ai démontré pareillement que les équations linéaires aux différences partielles du second ordre entre trois variables ne sont pas, le plus souvent, susceptibles d’être intégrées sous une forme finie, ce qui m’a conduit à une méthode générale pour les intégrer sous cette forme, lorsqu’elle est possible. Dans les autres cas, on ne peut obtenir une intégrale finie qu’au moyen d’intégrales définies.
Leibnitz ayant adapté au Calcul différentiel une caractéristique très commode, il imagina de lui donner les mêmes exposants qu’aux grandeurs ; mais alors ces exposants, au lieu d’indiquer les multiplications répétées d’une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d’une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne conduisit Leibnitz à ce théorème remarquable, savoir, que la différentielle ième d’un produit est égale à
