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très prompte, les coefficients des puissances très élevées de $t$ dans le développement en série de la puissance

$(a+bt+ct^{2}+\ldots )^{\mu },$

et par conséquent on aura les différentielles très élevées de la puissance

$(a'+b'z+c'z^{2}+\ldots )^{\mu },$

qui se change dans la précédente en changeant $z$ dans $z+t$ et faisant

${\begin{aligned}a=&a'+b'z+c'z^{2}+\ldots ,\\b=&b'+2c'z+\ldots ,\\c=&c'+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}$

Appliquons cette analyse à un exemple.

$z$ étant le sinus d’un angle $\theta ,$ on aura

${\frac {d^{s+1}\theta }{dz^{s+1}}}={\frac {d^{s}}{dz^{s}}}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}.$

Pour avoir l’expression du second membre de cette équation, nous observerons que l’on a, par ce qu’on vient de voir,

${\frac {d^{s}}{dz^{s}}}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}=1.2.3\ldots s.y_{s},$

$y_{s}$ étant le coefficient de $t^{s}$ dans le développement de $\left[1-(z+t)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}.$ On aura ensuite

$y_{s}=\mathrm {A} \int x^{s-1}dx\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},$

les limites de l’intégrale étant données par l’équation

$x^{s}\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.$

Ces limites sont

$x=-{\frac {1}{1+z}},\qquad x=0,\qquad x={\frac {1}{1-z}}.$