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celles de $i$ et de $z,$ trouvées ci-dessus ; elle est donc égale à

${\frac {c^{-{\frac {z^{2}}{2p'\varphi \left(1-\varphi \right)}}-{\frac {l^{2}}{2n\varphi ^{2}\left(1-\varphi ^{2}\right)}}}}{2\pi {\sqrt {np'\varphi ^{3}(1-\varphi )^{2}(1+\varphi )}}}}.$

Ayant suppose précédemment $i={\frac {nq'^{2}}{p'^{2}}}+s,$ on aura $s=l-{\frac {2nq'z}{p'^{2}}}\,;$ en substituant donc pour $l$ sa valeur tirée de cette équation et observant que l’on a à très peu près ${\frac {q'}{p'}}=\varphi ,$ on aura, pour la probabilité que la valeur de $s$ sera comprise dans des limites données, l’expression intégrale

${\frac {\iint dzdsc^{-{\frac {z^{2}}{2\varphi \left(1-\varphi \right)p'}}-{\frac {\left(s+{\frac {2nq'z}{p'^{2}}}\right)^{2}}{2n\varphi ^{2}\left(1-\varphi ^{2}\right)}}}}{2\pi {\sqrt {np'\varphi ^{3}(1-\varphi )^{2}(1+\varphi )}}}},$

l’intégrale relative à $z$ pouvant être prise depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty .$ De là, il est facile de conclure, par les méthodes exposées précédemment, que, si l’on fait

$k^{2}={\frac {p'}{2n\varphi ^{2}\left(1-\varphi \right)\left[p'+(p'+4n)\varphi \right]}},$

l’intégrale précédente devient

$\int {\frac {kds}{\sqrt {\pi }}}c^{-k^{2}s^{2}}\,;$

ainsi la probabilité que l’erreur de l’expression $i={\frac {nq'^{2}}{p'^{2}}}$ sera $\pm s$ est

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int kdsc^{-k^{2}s^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $s$ nul.

L’analyse précédente s’applique également à la durée moyenne d’un grand nombre d’associations formées de trois individus ou de quatre individus, etc. Soit $n$ ce nombre, et supposons que tous les associés soient du même âge a au moment de l’association ; désignons par $p$ le nombre des individus de la Table de mortalité de l’âge a, et par $q$ le