Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/752

rents termes, et par $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ les $n$ angles partiels successivement mesurés. On aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=&a_{1},\\\mathrm {A} _{2}=&a_{2}+a_{1},\\\mathrm {A} _{3}=&a_{3}+a_{2}+a_{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

et, si l’on nomme $y$ le véritable angle simple, on aura cette suite d’équations

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}y-a_{1}+x_{1}=&0,\\y-a_{2}+x_{2}=&0,\\y-a_{3}+x_{3}=&0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\y-a_{n}+x_{n}=&0,\end{aligned}}\right.$

$x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ étant les erreurs des angles $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots .$ On aura, par le n^o 20 du Livre II, le résultat le plus avantageux en multipliant par l’unité chacune des équations précédentes et en les ajoutant, ce qui donne

$y={\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}+{\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}.$

En supposant $x_{1},x_{2},\ldots$ nuls, on aura le résultat de la méthode la plus avantageuse, et l’erreur de ce résultat sera ${\frac {x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}}{n}}.$ En désignant par $u$ cette erreur, on voit, par le numéro cité, que la probabilité de $u$ est proportionnelle à $c^{-{\frac {knu^{2}}{2k''}}},\ k$ étant égal à $\int dx\varphi (x),$ et $k''$ étant égal à $\int x^{2}dx\varphi (x),\ \varphi (x)$ étant la loi de probabilité des erreurs $x$ des observations partielles, cette loi étant supposée la même pour les erreurs positives et négatives et pouvant s’étendre à l’infini ; $c$ est toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité.

Svanberg, dans son excellent Ouvrage sur le degré de Laponie, expose, pour déterminer $y,$ un nouveau procédé fondé sur les considérations suivantes. Chaque terme de la série $\mathrm {A_{1},A_{2}} ,\ldots$ peut donner sa valeur, qui peut être également déterminée par la différence $\mathrm {A} _{s'}-\mathrm {A} _{s}$ de deux termes quelconques de cette série, $s'$ étant plus grand que $s.$