Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/521

qu’à $x=a,\ x$ étant supposé, ainsi que $a,$ divisé dans une infinité de parties prises pour unité. Présentement, il est clair que le terme indépendant des exponentielles, dans le produit de la fonction précédente par $c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-l'\varpi '{\sqrt {-1}}},$ est la probabilité que la somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par $m,m^{(1)},\ldots ,$ ou la fonction $(m),$ sera égale à $l,$ en même temps que la fonction $(n),$ somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par $n,n^{(1)},\ldots ,$ sera égale à $l'\,;$ cette probabilité est donc

${\frac {1}{4\pi ^{2}}}\iint d\varpi d\varpi 'c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-l'\varpi '{\sqrt {-1}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos \left(m\varpi +n\varpi '\right)\times \ldots \\\times &2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos \left(m^{(s-1)}\varpi +n^{(s-1)}\varpi '\right)x\end{aligned}}\right\},$

les intégrales étant prises depuis $\varpi$ et $\varpi '$ égaux à $\pi .$ Cela posé :

En suivant exactement l’analyse du numéro précédent, on trouve que la fonction précédente se réduit à très peu près à

${\frac {1}{4\pi ^{2}}}\iint d\varpi d\varpi 'c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}-l'\varpi '{\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{k}}a^{2}(\varpi ^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}+2\varpi \varpi '.\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+\varpi '^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}},$

$k$ et $k''$ ayant ici la même signification que dans le numéro cité. On voit encore, par le même numéro, que les intégrales peuvent s’étendre depuis $a\varpi =-\infty ,\ a\varpi '=-\infty ,$ jusqu’à $a\varpi =\infty$ et $a\varpi '=\infty .$ Si l’on fait

${\begin{aligned}t=&a\varpi +{\frac {a\varpi '.\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}}{\mathrm {S} m^{(i)2}}}+{\frac {kl{\sqrt {-1}}}{2k''a.\mathrm {S} m^{(i)2}}}\\t'=&a\varpi '-{\frac {k}{2k''a}}{\frac {\left(l\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}-l'\mathrm {S} m^{(i)2}\right){\sqrt {-1}}}{\mathrm {S} m^{(i)2}.\mathrm {S} n^{(i)2}-\left(\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

si l’on fait ensuite

$\mathrm {E} =\mathrm {S} m^{(i)2}.\mathrm {S} n^{(i)2}-\left(\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}\right)^{2},$

la double intégrale précédente devient

$c^{-{\frac {k}{4k''a^{2}\mathrm {E} }}\left[l^{2}\mathrm {S} n^{(i)2}-2ll'\mathrm {S} m^{(i)}n^{(i)}+l'^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}\right]}\times \iint {\frac {dtdt'}{4\pi ^{2}a^{2}}}c^{-{\frac {k''t^{2}}{k}}\mathrm {S} m^{(i)2}-{\frac {k''t^{2}\mathrm {E} }{k\mathrm {S} m^{(i)2}}}}.$