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prises depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini, on a

$\int t^{n-1+m}dtc^{-t^{n}}={\frac {1}{n}}\int t^{\frac {m}{n}}dtc^{-t}\,;$

on a donc

$nkk'={\frac {{\cfrac {m}{n}}\pi }{\sin {\cfrac {m\pi }{n}}}}.$

En multipliant les deux membres de l’équation $(i)$ par ${\frac {nk2^{n}}{\pi }}$ et substituant dans le second membre ainsi multiplié, au lieu de $nkk',$ sa valeur ${\frac {{\cfrac {m}{n}}\pi }{\sin {\cfrac {m\pi }{n}}}},$ on aura la formule $(p)$ citée.

La même analyse s’applique au cas où $n$ est un nombre impair. Elle montre distinctement la raison pour laquelle la série des différences doit s’arrêter, lorsque la quantité élevée à la puissance $n-1+{\frac {m}{n}}$ devient négative.

Il nous reste maintenant à démontrer les formules

${\begin{aligned}&\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx'\cos x'=k'\sin {\frac {m\pi }{n}},\\&\int x^{-{\frac {m}{n}}}dx'\sin x'=k'\cos {\frac {m\pi }{n}}.\end{aligned}}$

Pour cela, considérons l’intégrale définie

$\int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx),$

cette intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini ; $\omega$ étant moindre que l’unité. En la développant par les expressions connues de $\cos rx$ et de $\sin rx,$ en séries, elle devient

$\int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}\left[1-{\frac {r^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {r^{4}x^{4}}{1.2.3.4}}-rx{\sqrt {-1}}\left(1-{\frac {r^{2}x^{2}}{1.2.3}}+{\frac {r^{4}x^{4}}{1.2.3.4.5}}-\ldots \right)\right].$