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facteur dont il s’agit devient donc, en négligeant $\omega ^{3},$ conformément à l’analyse du numéro cité du Livre II,

$k-p_{1}\zeta \varphi (0)+k'p_{1}\omega {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{2}}p_{1}^{2}\omega ^{2}.$

Son logarithme hyperbolique est

$-p_{1}\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}+{\frac {k'}{k}}p_{1}\omega {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{2k}}p_{1}^{2}\omega ^{2}-{\frac {p_{1}^{2}}{2}}\left[\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}-{\frac {k'}{k}}\omega {\sqrt {-1}}\right]^{2}+\log k.$

En changeant $p_{1}$ successivement en $p_{2},p_{3},\ldots ,p_{r-1},$ on aura les logarithmes des facteurs suivants, jusqu’au facteur relatif à $p_{r-1}.$

Dans le facteur $\int dx\varphi (x)c^{p_{r+1}x\omega {\sqrt {-1}}},$ l’intégrale doit être prise depuis $x=-\infty ,$ jusqu’à $x=p_{r+1}\zeta \,;$ alors $\int xdx\varphi (x)$ devenant $-k',$ le logarithme de ce facteur est

${\begin{aligned}p_{r+1}\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}&-{\frac {k'}{k}}p_{r+1}\omega {\sqrt {-1}}-{\frac {k''}{2k}}p_{r+1}^{2}\omega ^{2}\\&-{\frac {p_{r+1}^{2}}{2}}\left[\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}-{\frac {k'}{k}}\omega {\sqrt {-1}}\right]^{2}+\log k.\end{aligned}}$

On aura les logarithmes des facteurs suivants en changeant $p_{r+1}$ successivement en $p_{r+2},p_{r+3},\ldots ,p_{n}.$ Le facteur $\varphi (p_{r}\zeta )c^{p_{r}\zeta {\sqrt {-1}}}$ est égal à

$\left[\varphi (0)+{\frac {p_{r}^{2}\zeta ^{2}}{2}}\right]\varphi ''(0)c^{p_{r}\zeta \omega {\sqrt {-1}}},$

et son logarithme est

${\frac {p_{r}^{2}}{2}}\zeta ^{2}{\frac {\varphi ''(0)}{\varphi (0)}}+p_{r}\zeta \omega {\sqrt {-1}}+\log \varphi (0).$

Maintenant, si l’on rassemble tous ces logarithmes, si l’on considère ensuite les conditions $(c)$ auxquelles l’équation $r$^ième est assujettie, enfin si l’on repasse des logarithmes aux nombres, on trouve, en négligeant ce qu’il est permis de négliger, que la probabilité de l’existence simultanée de $l$ et de $\zeta$ est proportionnelle à

$\int d\varphi c^{-l\omega {\sqrt {-1}}-\left\{\left[\zeta {\frac {\varphi (0)}{k}}-{\frac {k'}{k}}\omega {\sqrt {-1}}\right]^{2}+{\frac {k''}{k}}\omega ^{2}\right\}{\frac {\mathrm {S} p_{i}^{2}}{2}}}.$