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$x'$ étant une fonction de $x$ qu’il s’agit de déterminer, on aura une équation de cette forme

$0=\int x^{s}x'^{s'}\varphi dx(\mathrm {M} +\mathrm {N} s+\mathrm {P} s'),$

$\mathrm {M,N}$ et $\mathrm {P}$ étant des fonctions de $x$ et de $x',$ sans $s$ ni $s'\,;$ or on a

${\frac {d\left(x^{s}x'^{s'}\right)}{dx}}=x^{s}x'^{s'}({\frac {s}{x}}+{\frac {s'dx'}{x'dx}}\,;$

donc, si l’on détermine $x'$ par cette équation

${\frac {dx'}{x'}}={\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {N} x}},$

on aura

$x^{s}x'^{s'}(\mathrm {N} s+\mathrm {P} s')=\mathrm {N} x{\frac {d\left(x^{s}x'^{s'}\right)}{dx}}\,;$

par conséquent, si l’on désigne $x^{s}x'^{s'}$ par $\delta y,$ et si l’on suppose que l’on a substitué dans $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ pour $x'$ sa valeur en $x,$ on aura

$0=\int \varphi dx\left(M\delta y+Nx{\frac {d\delta y}{dx}}\right).$

Cette équation, intégrée par parties, comme dans les numéros précédents, donne les deux suivantes :

${\begin{aligned}0=&\mathrm {M} \varphi -{\frac {d(\mathrm {N} x\varphi )}{dx}},\\0=&\mathrm {N} x\varphi \delta y.\end{aligned}}$

La première détermine $\varphi$ en $x,$ et la seconde donne les limites de l’intégrale $\int \delta y\varphi dx.$

Cette valeur de $y_{s,s'}$ ne renfermant point de fonction arbitraire, elle n’est qu’une intégrale particulière de l’équation proposée aux différences partielles. Pour la rendre complète, on observera que l’intégrale de l’équation

${\frac {dx'}{x'}}={\frac {\mathrm {P} dx}{\mathrm {N} x}},$

qui détermine $x'$ en $x,$ est $x'=\mathrm {Q,\ Q}$ étant une fonction de $x$ et d’une constante arbitraire que nous désignerons par $u\,;$ en représentant donc