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Ces limites sont donc $x=0$ et $x=p,$ si $n+s$ et $n'+1-n$ sont des quantités positives. Ainsi l’on aura, en prenant l’intégrale dans ces limites,

$y_{s}=\mathrm {A} \int x^{n+s-1}dx(p-x)^{n'-n}.$

On déterminera la constante $\mathrm {A}$, au moyen d’une valeur particulière de $y_{s}.$ Soit $y_{\mu }$ cette valeur ; on aura

$\mathrm {A} ={\frac {y_{\mu }}{\int x^{n+\mu -1}dx(p-x)^{n'-n}}}.$

par conséquent,

$y_{s}={\frac {y_{\mu }\int x^{n+s-1}dx(p-x)^{n'-n}}{\int x^{n+\mu -1}dx(p-x)^{n'-n}}}.$

Intégrons présentement l’équation proposée aux différences en $y_{s}.$ Son intégrale est

$y_{s}={\frac {(n+\mu )(n+\mu +1)\ldots (n+s-1)}{(n'+\mu +1)(n'+\mu +2)\ldots (n'+s)}}y_{\mu }p^{s-\mu }.$

Dans cette expression, comme dans toutes celles formées de produits, les facteurs du numérateur ne commencent que pour la valeur de $s$ qui rend le dernier facteur égal au premier, ce qui a lieu ici lorsque $s$ est égal à $\mu +1\,;$ il en est de même des facteurs du dénominateur. Pour la valeur de $s$ égale à $\mu ,$ le numérateur et le dénominateur se réduisent à l’unité qui est censée les multiplier l’un et l’autre. Si l’on compare les deux expressions précédentes de $y_{s},$ on aura

${\frac {(n+\mu )(n+\mu +1)\ldots (n+s-1)}{(n'+\mu +1)(n'+\mu +2)\ldots (n'+s)}}p^{s-\mu }={\frac {\int x^{n+s-1}dx(p-x)^{n'-n}}{\int x^{n+\mu -1}dx(p-x)^{n'-n}}}.$

Faisons $p-x=pu^{2}\,;$ le second membre de cette équation deviendra

$p^{s-\mu }{\frac {\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+s-1}}{\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+\mu -1}}},$

les intégrales étant prises depuis $u=0$ jusqu’à $u=1,$ parce que ces limites répondent aux limites $x=p$ et $x=0.$ On a donc

${\frac {(n+\mu )(n+\mu +1)\ldots (n+s-1)}{(n'+\mu +1)(n'+\mu +2)\ldots (n'+s)}}={\frac {\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+s-1}}{\int u^{2n'-2n+1}du\left(1-u^{2}\right)^{n+\mu -1}}}.$