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LIVRE PREMIER.

Relativement à l’équation aux différences partielles du premier ordre

${\begin{aligned}0=\mathrm {A} y_{i,x'}&+\mathrm {B} y_{i+1,x'}\\&+\mathrm {B} 'y_{i+1,x'+1}\end{aligned}}$

on a

$\mathrm {Z} _{i}^{(0)}=-{\frac {1}{a\alpha ^{i+1}}}\,;$

on a de plus

${\begin{aligned}a=&\mathrm {A+B'} s,\\\alpha =&-{\frac {\mathrm {B} }{a}},\end{aligned}}$

ce qui donne

$\mathrm {Z} _{i}^{(0)}=-{\frac {(\mathrm {A+B'} s)^{i}}{(-\mathrm {B} )^{n+1}}}\,;$

d’où l’on tire cette équation différentielle

$0={\frac {d\mathrm {Z} _{i}^{(0)}}{ds}}(\mathrm {A+B'} s)-i\mathrm {B} '\mathrm {Z} _{i}^{(0)},$

ce qui donne l’équation aux différences finies

$0=(r+1)\mathrm {A} \lambda _{r+1}-(i-r)\mathrm {B} '\lambda _{r}\,;$

on a ensuite

$\mathrm {M} ^{(r)}=\mathrm {B} \lambda _{r}.$

La formule $(\lambda )$ du numéro précédent deviendra donc

$y_{i,x'}=\mathrm {B} \Sigma \lambda _{r}y_{0,x'+r},$

l’intégrale finie étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=i.$ C’est l’intégrale complète de l’équation précédente aux différences partielles du premier ordre.

L’équation aux différences en $\lambda _{r}$ donne en l’intégrant

$\lambda _{r}={\frac {\mathrm {H} i(i-1)(i-2)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}{\frac {\mathrm {B} '^{r}}{\mathrm {A} ^{r}}},$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire, et le dénominateur étant l’unité lorsque $r$ est nul. Pour déterminer cette constante, on observera que le coefficient indépendant de ${\frac {1}{t'}}$ dans $\mathrm {Z} _{i}^{(0)}$ est $-{\frac {\mathrm {A} ^{i}}{(-\mathrm {B} )^{i+1}}}\,;$ c’est la valeur de