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$\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ étant fonctions de ${\frac {1}{t'}}.$ Si l’on fait ${\frac {1}{t'}}=s,$ et que l’on différentie l’expression précédente de $\mathrm {Z} _{i}^{(0)},\ n$ fois de suite par rapport à $s,$ on aura, avec l’équation précédente, $n+1$ équations, au moyen desquelles, en éliminant les puissances indéterminées ${\frac {1}{\alpha ^{n+1}}},{\frac {1}{\alpha ^{'n+1}}},{\frac {1}{\alpha ^{''n+1}}},\ldots ,$ on parviendra à une équation linéaire entre $\mathrm {Z} _{i}^{(0)},{\frac {d\mathrm {Z} _{i}^{(0)}}{ds}},{\frac {d^{2}\mathrm {Z} _{i}^{(0)}}{ds^{2}}},\ldots ,$ dont les coefficients seront fonctions de $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ et de leurs différentielles prises par rapport à $s\,;$ or il est clair que $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ doivent entrer de la même manière dans ces coefficients, que l’on pourra ainsi obtenir en fonctions rationnelles et entières des coefficients de l’équation qui donne les valeurs de $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ et des différences de ces coefficients, et par conséquent en fonctions rationnelles de $s.$ En faisant ensuite disparaître les dénominateurs de ces fonctions, on aura une équation linéaire entre $\mathrm {Z} _{i}^{(0)}$ et ses différentielles, équation dont les coefficients seront des fonctions rationnelles et entières de $s.$ Cela posé, considérons un terme quelconque de cette équation, tel que $ks^{m}{\frac {d^{\mu }\mathrm {Z} _{i}^{(0)}}{ds^{\mu }}},$ et nommons $\lambda _{r}$ le coefficient de ${\frac {1}{t'_{r}}}$ dans le développement de $\mathrm {Z} _{i}^{(0)}$ suivant les puissances de ${\frac {1}{t'}}\,;$ ce coefficient dans le développement de $ks^{m}{\frac {d^{\mu }\mathrm {Z} _{i}^{(0)}}{ds^{\mu }}}$ sera

$k(r+\mu -m)(r+\mu -m-1)(r+\mu -m-2)(r-m+1)\lambda _{r+\mu -m}.$

En repassant ainsi des fonctions génératrices à leurs coefficients, l’équation entre $\mathrm {Z} _{i}^{(0)}$ et ses différences donnera une équation entre $\lambda _{r},\lambda _{r+1},\ldots$ dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de $r$ et dont l’intégrale sera la valeur de $\lambda _{r}.$

Il suit de là que l’intégration de toute équation linéaire aux différences finies partielles, dont les coefficients sont constants, dépend : 1^o de l’intégration d’une équation linéaire aux différences finies dont les coefficients sont variables ; 2^o d’une intégrale définie. L’intégrale définie dont dépend la valeur de $y_{i,x'}$ dans la formule $(\lambda )$ est relative à $r,$ et doit s’étendre jusqu’à $r=i+1.$