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La tangente $s$ est non seulement la tangente de l’angle $\mathrm {A} ,$ mais encore celle du même angle, augmenté d’un multiple quelconque de la demi circonférence ; mais le premier membre de cette équation devant se réduire à l’unité, lorsque $s$ est nul, il est clair que l’on doit prendre pour $\mathrm {A}$ le plus petit des angles qui ont $s$ pour tangente.

Maintenant, cette équation donne, en y substituant ${\frac {r}{a}}$ au lieu de $s,$

${\frac {k'}{a^{1-\omega }\left(1+s{\sqrt {-1}}\right)^{1-\omega }}}={\frac {k'}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\left[\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}(1-\omega )\sin \mathrm {A} \right]\,;$

on a donc

$\int {\frac {dxc^{-ax}}{x^{\omega }}}\left(\cos rx-{\sqrt {-1}}\sin rx\right)$

$={\frac {k'}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\left[\cos(1-\omega )\mathrm {A} -{\sqrt {-1}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} \right].$

En comparant séparément les quantités réelles et les imaginaires, on a

${\begin{aligned}&\int {\frac {dx\cos rxc^{-ax}}{x^{\omega }}}={\frac {k'}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\cos(1-\omega )\mathrm {A} ,\\&\int {\frac {dx\sin rxc^{-ax}}{x^{\omega }}}={\frac {k'}{\left(a^{2}+r^{2}\right)^{\frac {1-\omega }{2}}}}\sin(1-\omega )\mathrm {A} .\end{aligned}}$

Si $a$ est nul, ${\frac {r}{a}}$ est infini, et le plus petit angle, dont il est la tangente, est ${\frac {\pi }{2}}\,;$ on a donc

${\begin{aligned}&\int {\frac {dx\cos rx}{x^{\omega }}}={\frac {k'}{r^{1-\omega }}}\sin {\frac {\omega \pi }{2}},\\&\int {\frac {dx\sin rx}{x^{\omega }}}={\frac {k'}{r^{1-\omega }}}\cos {\frac {\omega \pi }{2}}.\end{aligned}}$

En supposant $r=1$ et $\omega ={\frac {m}{n}},$ on aura les équations qu’il s’agissait de démontrer.