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LIVRE PREMIER.
l’intégrale
et
On aura donc, dans ces limites,
![{\displaystyle {\frac {1}{s^{i}}}=\mathrm {A} \int x^{i-1}dxc^{-sx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c13241244c1bef701f8e96f6cf12016b82da03)
Pour déterminer la constante
, nous observerons que,
étant
le premier membre de cette équation se réduit à l’unité, ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {1}{\int x^{i-1}dxc^{-x}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce5e9b796686bcdea82da96e2e5238b22ca4b3f)
partant
![{\displaystyle \quad {\frac {1}{s^{i}}}={\frac {\int x^{i-1}dxc^{-sx}}{\int x^{i-1}dxc^{-x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b307cefd059f5e67bb473ca05deba73931bdfcb0)
on aura donc par le numéro précédent
![{\displaystyle (\mu )\qquad \qquad \qquad \Delta ^{n}{\frac {1}{s^{i}}}={\frac {\int x^{i-1}dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}}{\int x^{i-1}dxc^{-x}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d3d6b2abd67cd92c3c87b5e520107aa7a4fbf0f)
les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis
nul jusqu’à
infini.
Pour développer cette expression en série, supposons
![{\displaystyle x^{i-1}c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}=a^{i-1}c^{-sa}\left(c^{-a}-1\right)^{n}c^{-t^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2caf9c0817709a46d6e62407559c59f4b2f2702)
étant la valeur de
qui répond au maximum du premier membre de cette équation. Si l’on fait
on aura, en prenant les logarithmes de chaque membre, et en développant le logarithme du premier dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de
,
![{\displaystyle h\rho ^{2}+h'\rho ^{3}+h''\rho ^{4}+\ldots =t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d979d589d6ee15de360f289fa1396abffa1ffb6c)
les quantités
étant données par les équations suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {i-1}{a}}-s-{\frac {nc^{-a}}{c^{-a}-1}},\\h=&\quad {\frac {i-1}{2a^{2}}}-{\frac {n}{2}}{\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}+{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{2},\\h'=&-{\frac {i-1}{3a^{3}}}+{\frac {n}{6}}{\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{2}+{\frac {n}{3}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{3},\\h''=&\quad {\frac {i-1}{4a^{4}}}-{\frac {n}{24}}{\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}+{\frac {7n}{24}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{2}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{3}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {n}{4}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{4},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1d1d16396320323f8073f13c9e056b40b53076)
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