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LIVRE PREMIER.

l’intégrale $\int c^{-sx}\varphi dx,\ x=0$ et $x=\infty .$ On aura donc, dans ces limites,

${\frac {1}{s^{i}}}=\mathrm {A} \int x^{i-1}dxc^{-sx}.$

Pour déterminer la constante $\mathrm {A}$, nous observerons que, $s$ étant $1,$ le premier membre de cette équation se réduit à l’unité, ce qui donne

$\mathrm {A} ={\frac {1}{\int x^{i-1}dxc^{-x}}}\quad$partant$\quad {\frac {1}{s^{i}}}={\frac {\int x^{i-1}dxc^{-sx}}{\int x^{i-1}dxc^{-x}}}\,;$

on aura donc par le numéro précédent

$(\mu )\qquad \qquad \qquad \Delta ^{n}{\frac {1}{s^{i}}}={\frac {\int x^{i-1}dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}}{\int x^{i-1}dxc^{-x}}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini.

Pour développer cette expression en série, supposons

$x^{i-1}c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}=a^{i-1}c^{-sa}\left(c^{-a}-1\right)^{n}c^{-t^{2}},$

$a$ étant la valeur de $x$ qui répond au maximum du premier membre de cette équation. Si l’on fait $x=a+\theta ,$ on aura, en prenant les logarithmes de chaque membre, et en développant le logarithme du premier dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $\theta$,

$h\rho ^{2}+h'\rho ^{3}+h''\rho ^{4}+\ldots =t^{2},$

les quantités $a,h,h',h'',\ldots ,\ldots$ étant données par les équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&{\frac {i-1}{a}}-s-{\frac {nc^{-a}}{c^{-a}-1}},\\h=&\quad {\frac {i-1}{2a^{2}}}-{\frac {n}{2}}{\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}+{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{2},\\h'=&-{\frac {i-1}{3a^{3}}}+{\frac {n}{6}}{\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{2}+{\frac {n}{3}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{3},\\h''=&\quad {\frac {i-1}{4a^{4}}}-{\frac {n}{24}}{\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}+{\frac {7n}{24}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{2}-{\frac {n}{2}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{3}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {n}{4}}\left({\frac {c^{-a}}{c^{-a}-1}}\right)^{4},\end{aligned}}$

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