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Pour déterminer $z,$ reprenons l’équation

$a={\frac {i+1}{n}}-{\frac {i+1}{n}}c^{-a}\,;$

on aura, par la formule $(p)$ du n^o 21 du Livre II de la Mécanique céleste,

$z=c^{-a}=q+{\frac {i+1}{n}}q^{2}+{\frac {3\left({\cfrac {i+1}{n}}\right)^{2}}{1.2}}q^{3}+{\frac {4^{2}\left({\cfrac {i+1}{n}}\right)^{3}}{1.2.3}}q^{4}+\ldots ,$

$q$ étant supposé égal à $c^{-{\frac {i+1}{n}}}.$ Cette valeur de $z$ donne

$c^{-nz}=c^{-nq}\left[1-(i+1)q^{2}\right]\,;$

par conséquent,

${\frac {\Delta ^{n}s^{i}}{n^{i}}}=c^{-nq}\left(1+{\frac {i+1-2n}{2n}}q-{\frac {n+i+2}{2}}q^{2}\right).$

En égalant cette quantité à la fraction ${\frac {1}{k}},$ on aura

$q={\frac {\log k}{n}}\left(1+{\frac {i+1-2n}{2n^{2}}}-{\frac {n+i+2}{2n^{2}}}\log k\right)\,;$

on aura donc à très peu près, pour l’expression du nombre $i$ de tirages, après lesquels la probabilité que tous les numéros seront sortis est ${\frac {1}{k}},$

$i=(\log n-\log \log k)\left(n-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\log k\right)+{\frac {1}{2}}\log k\,;$

on doit observer que tous ces logarithmes sont hyperboliques.

Supposons la loterie composée de $10000$ numéros, ou $n=10000,$ et $k=2,$ cette formule donne

$i=95767{,}4$

pour l’expression du nombre de tirages, dans lesquels on peut parier un contre un, que les dix mille billets de la loterie sortiront ; il y a donc un peu moins d’un contre un à parier qu’ils sortiront dans