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tageuse, on a

$\mathrm {S} p^{(i)}\varepsilon '^{(i)}=0,\quad \mathrm {S} q^{(i)}\varepsilon '^{(i)}=0,\quad \ldots \,;$

on a donc

$\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}=\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}+\mathrm {S} \left(p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots \right)^{2}\,;$

en comparant cette valeur de $\mathrm {S} \varepsilon ^{(i)2}$ à sa valeur précédente ${\frac {2k''}{k}}a^{2}s+a^{2}r{\sqrt {s}},$ on aura

$a^{2}r{\sqrt {s}}=\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}-{\frac {2k''}{k}}a^{2}s+\mathrm {S} \left(p^{(i)}u+q^{(i)}u'+\ldots \right)^{2}.$

Faisons

$\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)2}-{\frac {2k''}{k}}a^{2}s=t{\sqrt {s}},$

$u={\frac {v}{\sqrt {s}}},\quad u'={\frac {v'}{\sqrt {s}}},\quad u''={\frac {v''}{\sqrt {s}}},\quad \ldots \,;$

nous aurons

$a^{2}r=t+{\frac {\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}{s{\sqrt {s}}}},$

L’exponentielle $c^{-{\frac {{\text{ϐ}}'^{2}r^{2}}{4}}}$ devient ainsi

$c^{-{\frac {{\text{ϐ}}'^{2}}{4a^{4}}}\left[t+{\frac {\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}{s{\sqrt {s}}}}\right]^{2}}\,;$

ainsi la probabilité de $t$ est proportionnelle à cette exponentielle.

L’analyse du n^o 21 du Livre II conduit à ce théorème général, savoir que la probabilité de l’existence simultanée des quantités $u,u',u'',\ldots$ est proportionnelle à l’exponentielle

$c^{-{\frac {k}{4k''a^{2}s}}\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}\,;$

la probabilité de l’existence simultanée de $t,v,v',v'',\ldots$ est donc proportionnelle à

$c^{-{\frac {{\text{ϐ}}'^{2}}{4a^{4}}}\left[t+{\frac {\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}{s{\sqrt {s}}}}\right]^{2}-{\frac {k}{4k''a^{2}s}}\mathrm {S} \left(p^{(i)}v+q^{(i)}v'+\ldots \right)^{2}}.$

En substituant pour ${\frac {4k''a^{2}s}{k}}$ sa valeur $2\mathrm {S} \varepsilon '^{(i)}-2t{\sqrt {s}},$ cette exponentielle