Si l’on fait ensuite, dans la formule
et
elle donne
![{\displaystyle {\frac {3.5\ldots (2s-1)}{2.4\ldots (2s-2)}}=y_{s-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb023b39ef67bb8b8cd9b16d468c14185506d81b)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y_{s-1}={\frac {2s}{2s+1}}y_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f517cdad136a097bedebf52cc2e6f8268d3cf51c)
équation qui coincïde avec la précédente entre
et
en y changeant
dans
en sorte que cette équation a lieu,
étant entier ou égal à un entier plus ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ca269377f18d1b032279be1559cb3e7c3623e18)
Les deux expressions de
et de
donnent
![{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}={\frac {3.3}{2.4}}.{\frac {5.5}{4.6}}\ldots {\frac {(2s-1)(2s-1)}{(2s-2)2s}}{\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58f11091eec0315015083521a9edecf271d76bb)
les équations aux différences en
et
donnent
![{\displaystyle {\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}={\frac {(2s+1)^{2}}{2s(2s+2)}}{\frac {y_{s+{\frac {1}{2}}}}{y_{s}}}={\frac {(2s+1)^{2}}{2s(2s+2)}}{\frac {(2s+3)^{2}}{(2s+2)(2s+4)}}{\frac {y_{s+{\frac {3}{2}}}}{y_{s+1}}}=\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4ae78de9c8b072333834c4ce83a076ae26044a)
Le rapport
est plus grand que l’unité ; il diminue sans cesse, à mesure que
augmente, et, dans le cas de
infini, il devient l’unité. En effet, ce rapport est égal à
![{\displaystyle {\frac {\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-1}}{\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d6a7a6ce953c6a33144fb87e396404a89c96ae)
Or l’élément
est plus grand que l’élément
ou
l’intégrale du numérateur de la fraction précédente surpasse donc celle du dénominateur ; cette fraction est donc plus grande que l’unité. Lorsque
est infini, ces intégrales n’ont de valeur sensible que lorsque
est infiniment petit ; car,
étant fini, le facteur
devient une fraction ayant un exposant infiniment grand ; on peut donc alors supposer
ce qui rend le rapport
égal à l’unité.