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Si l’on fait ensuite, dans la formule $(a),\ n'=-{\frac {1}{2}},\ n=0$ et $\mu =1,$ elle donne

${\frac {3.5\ldots (2s-1)}{2.4\ldots (2s-2)}}=y_{s-1}\,;$

d’où l’on tire

$y_{s-1}={\frac {2s}{2s+1}}y_{s},$

équation qui coincïde avec la précédente entre $y_{s-{\frac {1}{2}}}$ et $y_{s+{\frac {1}{2}}}$ en y changeant $s$ dans $s+{\frac {1}{2}},$ en sorte que cette équation a lieu, $s$ étant entier ou égal à un entier plus ${\frac {1}{2}}.$

Les deux expressions de $y_{s-1}$ et de ${\frac {4}{\pi }}$ donnent

${\frac {4}{\pi }}={\frac {3.3}{2.4}}.{\frac {5.5}{4.6}}\ldots {\frac {(2s-1)(2s-1)}{(2s-2)2s}}{\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}\,;$

les équations aux différences en $y_{s}$ et $y_{s-{\frac {1}{2}}}$ donnent

${\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}={\frac {(2s+1)^{2}}{2s(2s+2)}}{\frac {y_{s+{\frac {1}{2}}}}{y_{s}}}={\frac {(2s+1)^{2}}{2s(2s+2)}}{\frac {(2s+3)^{2}}{(2s+2)(2s+4)}}{\frac {y_{s+{\frac {3}{2}}}}{y_{s+1}}}=\ldots .$

Le rapport ${\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}$ est plus grand que l’unité ; il diminue sans cesse, à mesure que $s$ augmente, et, dans le cas de $s$ infini, il devient l’unité. En effet, ce rapport est égal à

${\frac {\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-1}}{\int du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}}}.$

Or l’élément $du\left(1-u^{2}\right)^{s-1}$ est plus grand que l’élément $du\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}},$ ou $du\left(1-u^{2}\right)^{s-1}\left(1-u^{2}\right)^{s-{\frac {1}{2}}}\,;$ l’intégrale du numérateur de la fraction précédente surpasse donc celle du dénominateur ; cette fraction est donc plus grande que l’unité. Lorsque $s$ est infini, ces intégrales n’ont de valeur sensible que lorsque $u$ est infiniment petit ; car, $u$ étant fini, le facteur $\left(1-u^{2}\right)^{s-1}$ devient une fraction ayant un exposant infiniment grand ; on peut donc alors supposer $\left(1-u^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=1,$ ce qui rend le rapport ${\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}$ égal à l’unité.