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qui se réduit à l’unité lorsque $\alpha$ est nul. Cette racine est

${\frac {1+{\sqrt {1-4\alpha }}}{2}}\,;$

en supposant donc $\alpha =pqt'^{2},$ on aura

$\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}$

$=2^{a}\left[1-apqt'^{2}+{\frac {a(a-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t'^{4}-{\frac {a(a-4)(a-5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}t'^{6}+\ldots \right]\,;$

on aura ainsi

${\frac {2^{a}p^{a}t'^{a}}{\left(1+{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}+\left(1-{\sqrt {1-4pqt'^{2}}}\right)^{a}}}$

$={\frac {p^{a}t'^{a}}{1-apqt'^{2}+{\cfrac {a(a-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}t'^{4}-{\cfrac {a(a-4)(a-5)}{1.2.3}}p^{3}q^{3}t'^{6}+\ldots }},$

la série du dénominateur étant continuée exclusivement jusqu’aux puissances de $t'$ supérieures à $a$. Ce second membre doit être, par ce qui précède, divisé par $1-t'^{2},$ pour avoir la fonction génératrice de $y_{a,x'}\,;$ la quantité $y_{a,x'}$ est donc la somme des coefficients des puissances de $t',$ en ne considérant dans le développement de ce membre par rapport aux puissances de $t'$ que les puissances égales ou inférieures à $x'.$ Chacun de ces coefficients exprimera la probabilité que $\mathrm {A}$ gagnera la partie au coup indiqué par l’exposant de la puissance de $t'.$

Si l’on nomme $z_{i}$ le coefficient correspondant à $t'^{a+2i},$ on aura généralement

$0=z_{i}-apqz_{i-1}+{\frac {a(a-3)}{1.2}}p^{2}q^{2}z_{i-2}-\ldots \,;$

d’où il est facile de conclure les valeurs de $z_{1},z_{2},\ldots ,$ en observant que $z_{-1},z_{-2},\ldots$ sont nuls, et que $z_{0}=p^{a}.$ La valeur de $z_{i}$ étant égale à $y_{a,a+2i}-y_{a,a+2i-2},$ on aura celles de $y_{a,a},y_{a,a+2},y_{a,a+4},$ etc. L’équation aux différences partielles à laquelle on est immédiatement conduit se trouve ainsi ramenée à une équation aux différences ordinaires, qui détermine, en l’intégrant, la valeur de $y_{a,x'}.$ Mais on peut obtenir cette