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car il est visible que $(r)$ se trouve alors, par rapport au vainqueur $(1),$ dans la même position où était $(r-1)$ par rapport au vainqueur $(0)\,;$ seulement, il y a un coup de moins à jouer pour arriver au coup $x,$ ce qui change $x$ dans $x-1$. Présentement la probabilité que le joueur $(0)$ sera vaincu par $(1)$ est ${\frac {1}{2}}\,;$ ainsi ${\frac {1}{2}}y_{r-1,x-1}$ est la probabilité du joueur $(r)$ pour gagner la partie au coup $x,$ relative au cas où $(0)$ est vaincu par $(1).$ Si $(0)$ n’est vaincu que par $(2),$ $y_{r,x}$ devient $y_{r-2,x-2},$ et la probabilité de cet événement étant ${\frac {1}{4}},$ on a ${\frac {1}{4}}y_{r-2,x-2}$ pour la probabilité du joueur $(r)$ de gagner la partie au coup $x,$ relative à ce cas. Si le joueur $(0)$ n’est vaincu que par le joueur $(r),\ y_{r,x}$ devient $y_{0,x-r},$ et la probabilité de cet événement est ${\frac {1}{2^{r}}}\,;$ ainsi ${\frac {1}{2^{r}}}y_{0,x-r}$ est la probabilité du joueur $(r)$ pour gagner la partie au coup $x,$ relative à ce cas. Si le joueur $(0)$ n’est vaincu que par le joueur $(r+1),\ y_{r,x}$ se change dans $y_{n-1,x-r-1}\,;$ car alors le joueur $(r)$ se trouve, par rapport au vainqueur, dans la position primitive du joueur $(n-1)$ par rapport au joueur $(0)\,;$ seulement il ne reste que $x-r-1$ coups à jouer pour arriver au coup $x.$ Or la probabilité que $(0)$ ne sera vaincu que par le joueur $(r+1)$ est ${\frac {1}{2^{r+1}}}\,;\ {\frac {1}{2^{r+1}}}y_{n-1,x-r-1}$ est donc la probabilité de $(r)$ pour gagner la partie au coup $x,$ relative à ce cas. En continuant ainsi, et rassemblant toutes ces probabilités partielles, on aura la probabilité entière $y_{r,x}$ du joueur $(r)$ pour gagner la partie, ce qui donne l’équation suivante :

${\begin{aligned}y_{r,x}={\frac {1}{2}}y_{r-1,x-1}&+{\frac {1}{2^{2}}}y_{r-2,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{r}}}y_{0,x-r}+{\frac {1}{2^{r+1}}}y_{n-1,x-r-1}\\&+{\frac {1}{2^{r+2}}}y_{n-2,x-r-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{r+1,x-n+1}.\end{aligned}}$

Cette expression a lieu depuis $r=1$ jusqu’à $r=n-2.$ Elle donne

${\frac {1}{2}}y_{r-1,x-1}={\frac {1}{2^{2}}}y_{r-2,x-2}+{\frac {1}{2^{3}}}y_{r-3,x-3}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}y_{r,x-n}.$

En retranchant cette équation de la précédente, on aura celle-ci aux