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Formule générale d’interpolation des séries dont la dernière raison des termes est celle d’une suite dont le terme général est donné par une équation linéaire aux différences, à coefficients constants. N^o 5 

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La formule s’arrête lorsque la raison des termes est celle d’une suite semblable, et alors elle donne l’intégrale des équations linéaires aux différences finies, dont les coefficients sont constants. Intégration générale de ces équations, dans le cas même où elles ont un dernier terme fonction de l’indice. N^o 6 

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Formule d’interpolation des mêmes suites, ordonnée par rapport aux différences successives de la variable principale. N^o 7 

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Passage de cette formule, du fini à l’infiniment petit. Interpolation des suites dont la dernière raison des termes est celle d’une équation aux différences infiniment petites linéaires, à coefficients constants. Intégration de ce genre d’équations, lors même qu’elles ont un dernier terme. N^o 8 

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De la transformation des suites. N^o 9 

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Théorèmes sur le développement des fonctions et de leurs différences en séries 

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On déduit du calcul des fonctions génératrices les formules

$'\Delta ^{n}y_{x}=\left[\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}-1\right]^{n},\qquad '\Sigma ^{n}y_{x}=\left[\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}-1\right]^{-n},$

$\Delta$ et $\Sigma$ se rapportant au cas où $x$ varie de l’unité et $'\Delta$ et $'\Sigma$ se rapportant au cas où $x$ varie de $i.$ On tire de ces formules les suivantes :

$'\Delta ^{n}y_{x}=\left(c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x}}{dx}}}-1\right)^{n},\qquad '\Sigma ^{n}y_{x}=\left(c^{\textstyle \alpha {\cfrac {dy_{x}}{dx}}}-1\right)^{-n},$

dans lesquelles $c$ désigne le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et $'\Delta$ et $'\Sigma$ se rapportent à la variation $\alpha$ de $x.$ On transforme l’expression de $'\Delta ^{n}y_{x}$ dans celle-ci

$\left(c^{{\cfrac {\alpha }{2}}{\cfrac {dy_{x+{\frac {n\alpha }{2}}}}{dx}}}-c^{-{\cfrac {\alpha }{2}}{\cfrac {dy_{x+{\frac {n\alpha }{2}}}}{dx}}}\right)^{n}.$

On parvient à ces formules

${\begin{aligned}{\frac {d^{n}y_{x}}{dx^{n}}}=&\left[\log(1+\Delta y_{x})\right]^{n},\\\int ^{n}y_{x}dx^{n}=&\left[\log(1+\Delta y_{x})\right]^{n}.\end{aligned}}$

Analogie entre les puissances positives et les différences et entre les puissances négatives et les intégrales, fondée sur ce que les exposants des puissances, dans les fonctions génératrices, se transportent aux caractéristiques correspondantes de la variable $y_{x}$. Généralisation des résultats précédents. N^o 10 

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Théorèmes analogues aux précédents sur les produits de plusieurs fonctions d’une même variable et spécialement sur le produit $p^{x}y_{x}.$ N^o 11 

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Chapitre II. — Des fonctions génératrices à deux variables 

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$u$ étant une fonction de deux variables $t$ et $t'$, et $y_{x,x'}$ étant le coefficient de $t^{x}t'^{x'}$ dans le développement de cette fonction, $u$ est fonction génératrice de $y_{x,x'}$. Si l’on multiplie $u$ par une fonction $s$ de ${\frac {1}{t}}$ et ${\frac {1}{t'}}$, le coefficient de $t^{x}t'^{x'}$ dans le développement de ce produit sera une fonction de $y_{x,x'}$, $y_{x+1,x'}$, $y_{x,x'+1}$, etc. ; en la désignant par $\nabla y_{x,x'}$, $us^{i}$sera la fonction génératrice de $\nabla ^{i}y_{x,x'}$. N^o 12 

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