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d’où l’on tire, en intégrant,

$vf={\frac {\mathrm {A} }{(1+x)^{i+1}}}.$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire. Ensuite on a

$p^{s}=x^{s}vf(1+x)$

ou

$p^{s}={\frac {\mathrm {A} x^{s}}{(1+x)^{i}}},$

d’où l’on tire

$x=p,\qquad \mathrm {A} =(1+p)^{i},$

en sorte que

$y_{s}=(1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},$

l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=p.$ En ajoutant à cette valeur de $y_{s}$ celle-ci

$\mathrm {B} (1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},$

l’intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, et $\mathrm {B}$ étant une arbitraire ; on aura pour l’intégrale complète de la proposée

$y_{s}=\mathrm {B} \int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}+(1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},$

expression que l’on peut mettre sous cette forme

$y_{s}=\mathrm {B} '\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}-(1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},$

la première intégrale étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini, et la seconde étant prise depuis $x=p$ jusqu’à $x$ infini.

Maintenant l’intégrale de la proposée

$p^{s}=sy_{s}+(s-i)y_{s+1}$

est

$y_{s}={\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{i(i-1)(i-2)\ldots (i-s+1)}}$

$\times \left[\mathrm {Q} -\sum {\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}\right],$