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LIVRE PREMIER.

$\mathrm {Q}$ étant une arbitraire et $\sum$ étant la caractéristique des différences finies ; en sorte que la fonction $\sum {\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}$ est égale à

$1+ip+{\frac {i(i-1)}{1.2}}p^{2}+\ldots +{\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-s+2)}{1.2.3\ldots (s-1)}}p^{s-1},$

c’est-à-dire à la somme des $s$ premiers termes du binôme $(1+p)^{i}.$ Si l’on compare cette expression de $y_{s}$ à la précédente, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {B} '&\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}-(1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}\\&={\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{i(i-1)\ldots (i-s+1)}}\left[\mathrm {Q} -\sum {\frac {i(i-1)\ldots (i-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}\right].\end{aligned}}$

Si l’on fait $s=1$ dans cette équation et si l’on observe que le produit $1.2.3\ldots (s-1)$ se réduit alors à l’unité, comme on l’a vu dans le n^o 34, on trouve, après les intégrations, $\mathrm {B'=Q} .$ Ainsi, $\mathrm {B} '$ étant une arbitraire, cette équation se partage dans les deux suivantes

${\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{i(i-1)\ldots (i-s+1)}}=\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},$

${\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{i(i-1)\ldots (i-s+1)}}\sum {\frac {i(i-1)\ldots (i-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}$

$=(1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}\,;$

d’où l’on tire

$1+ip+{\frac {i(i-1)}{1.2}}p^{2}+\ldots +{\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-s+2)}{1.2.3\ldots (s-1)}}p^{s-1}$

$=(1+p)^{i}{\frac {\int {\cfrac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}}{\int {\cfrac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $x=p$ jusqu’à $x$ infini, et celle du dénominateur étant prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini. Lorsque $s$ et $i$ sont de grands nombres, il sera facile de réduire ces deux intégrales en séries convergentes, par les formules des n^o 22 et 23. On aura ainsi la somme de $s$ premiers termes du binôme élevé à une grande puissance, par une approximation d’autant plus rapide que cette puissance sera plus haute.