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peu près à cette forme très simple

$\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{n}.$

C’est donc l’expression fort approchée de la probabilité qu’aucune des boules de l’urne ne sortira à son rang, lorsqu’il y a un grand nombre de boules. Le logarithme hyperbolique de cette expression étant

$-1-{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{3n^{2}}}-\ldots ,$

on voit qu’elle va toujours croissant à mesure que $n$ augmente ; qu’elle est nulle, lorsque $n=1$ et qu’elle devient ${\frac {1}{c}},$ lorsque $n$ est infini, $c$ étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité.

Concevons maintenant un nombre $i$ d’urnes renfermant chacune le nombre $n$ de boules, toutes de couleurs différentes, et que l’on tire successivement toutes les boules de chaque urne. On peut, par les raisonnements précédents, déterminer la probabilité qu’une ou plusieurs boules de la même couleur sortiront au même rang dans les $i$ tirages. En effet, supposons que les rangs des couleurs soient réglés d’après le tirage complet de la première urne, et considérons d’abord la première couleur ; supposons qu’elle sorte la première dans les tirages des $i-1$ autres urnes. Le nombre total des combinaisons des $n-1$ autres couleurs dans chaque urne est, en ayant égard à leur situation entre elles, $1.2.3\ldots (n-1)\,;$ ainsi le nombre total de ces combinaisons relatives aux $i-1$ urnes est $\left[1.2.3\ldots (n-1)\right]^{i-1}\,;$ c’est le nombre des cas dans lesquels la première couleur est tirée la première à la fois de toutes ces urnes, et, comme il y a $n$ couleurs, on aura

$n\left[1.2.3\ldots (n-1)\right]^{i-1}$

pour le nombre des cas dans lesquels une couleur au moins arrivera à son rang dans les tirages des $i-1$ urnes. Mais il y a dans ce nombre des cas répétés ; ainsi les cas où deux couleurs arrivent à leur rang