Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/739

contraire. Mais on peut directement arriver à ce résultat, par le n^o 21 du Livre II, d’après lequel on voit que, $s$ étant la valeur de la fonction $(o),$ sa probabilité est proportionnelle à

$c^{-{\frac {{\frac {3}{2}}h\left(s-\lambda {\frac {\mathrm {S} r^{(i)}f^{(i)}}{\mathrm {S} f^{(i)2}}}\right)}{\mathrm {S} r^{(i)2}-{\frac {\left(\mathrm {S} r^{(i)}f^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} f^{(i)2}}}}}},$

le signe $\mathrm {S}$ s’étendant à toutes les valeurs de $i,$ depuis $i=0$ inclusivement. La valeur de $s$ la plus probable est celle qui rend nul l’exposant de $c,$ ce qui donne

$s=\lambda {\frac {\mathrm {S} r^{(i)}f^{(i)}}{\mathrm {S} f^{(i)2}}}\,;$

il faut donc retrancher de l’arc mesuré $AA^{(1)}.\ldots A^{(n)}$ cette valeur de $s\,;$ et, si l’on nomme $u$ l’erreur de l’arc ainsi corrigé, la probabilité de $u$ sera proportionnelle à

$c^{-{\frac {{\frac {3}{2}}hu^{2}}{\mathrm {S} r^{(i)2}-{\frac {\left(\mathrm {S} r^{(i)}f^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} f^{(i)2}}}}}}.$

On voit par cette expression que le poids du résultat est augmenté en vertu de la mesure de la seconde base ; car, avant cette mesure, le coefficient de $-s^{2}$ était, par le numéro précédent,

${\frac {{\frac {3}{2}}h}{\mathrm {S} r^{(i)2}}},$

et, par cette mesure, le coefficient de $-u^{2}$ devient

${\frac {{\frac {3}{2}}h}{\mathrm {S} r^{(i)2}-{\cfrac {\left(\mathrm {S} r^{(i)}f^{(i)}\right)^{2}}{\mathrm {S} f^{(i)2}}}}}.$

La même erreur devient donc moins probable par cette mesure et par la correction précédente de cet arc.

On peut observer ici que les valeurs précédentes de $r,r^{(1)},f$ et $f^{(1)}$ donnent

${\begin{aligned}r^{2}+r^{(1)}=&p^{2}-pq+q^{2},\\f^{2}+f^{(1)2}=&l^{2}-ml+m^{2},\\rf+r^{(1)}f^{(1)}=&l\left(p-{\frac {1}{2}}q\right)+m\left(q-{\frac {1}{2}}p\right).\end{aligned}}$