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on aura

$\varphi (t)={\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}(2-t)(1-t\mathrm {T} )}{\mathrm {T} \left(2-t\mathrm {T} -t^{n}\mathrm {T} ^{n}\right)\left(1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)}}.$

Ainsi la fonction génératrice de l’équation (1) aux différences partielles est

${\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}(2-t)(1-t\mathrm {T} )}{\mathrm {T} \left(2-t\mathrm {T} -t^{n}\mathrm {T} ^{n}\right)\left(1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)\left(1-tt'+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)}}\,;$

la fonction génératrice de $y_{r,x}$ est donc

${\frac {{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n+r}(2-t)(1-t\mathrm {T} )\mathrm {T} ^{r}}{\left(2-t\mathrm {T} -t^{n}\mathrm {T} ^{n}\right)\left(1-t+{\cfrac {1}{2^{n}}}t^{n}\right)}}.$

Le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de cette fonction est la probabilité du joueur $(r)$ de gagner la partie au coup $x.$ On pourra ainsi déterminer cette probabilité par ce développement. La somme de tous ces coefficients jusqu’à $x$ infini est la probabilité du joueur $(r)$ de gagner la partie ; or on a cette somme en faisant $t=-1$ dans la fonction précédente, ce qui donne $\mathrm {T} ={\frac {2^{n}}{1+2^{n}}}\,;$ nommons $p$ cette dernière quantité, et désignons par $y_{r}$ la probabilité de $(r)$ de gagner la partie ; on aura

$y_{r}={\frac {(1-p)p^{r}}{2-p-p^{n}}}.$

Cette expression s’étend depuis $r=0$ jusqu’à $r=n-1,$ pourvu qu’on y change $y_{0}$ dans ${\overline {y}}_{0},\ {\overline {y}}_{0}$ exprimant la probabilité de gagner la partie des deux premiers joueurs au moment où ils entrent au jeu.

Maintenant, chaque joueur perdant déposant un franc au jeu, déterminons l’avantage des différents joueurs. Il est clair qu’après de $x$ coups, il y avait $x$ jetons au jeu ; l’avantage du joueur $(r)$ relatif à ces $x$ jetons est le produit de ces jetons par la probabilité $y_{r,x}$ de gagner la partie au coup $x\,;$ cet avantage est donc $xy_{r,x}.$ La valeur de $xy_{r,x}$ est le coeffi-