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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

On a généralement

$u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}-1\right]^{n}.$

Or il est clair que le coefficient de $t^{x}$ dans le premier membre de cette équation est la différence $n$^ième de $y_{x},\ x$ variant de $i\,;$ car ce coefficient dans $u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)$ est $y_{x+i}-y_{x}$ ou $'\Delta y_{x},$ en désignant par la caractéristique $'\Delta$ les différences finies, lorsque $x$ varie de la quantité $i\,;$ d’où il est facile de conclure que ce même coefficient, dans le développement de $u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{n}$ est $'\Delta ^{n}y_{x}.$ D’ailleurs, si l’on développe $u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}-1\right]^{n}$ suivant les puissances de ${\frac {1}{t}}-1,$ les coefficients de $t^{x}$ dans les développements de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right),u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2},\ldots$ sont, par le n^o 2, $\Delta y_{x},\Delta ^{2}y_{x},\ldots \,;$ en sorte que ce coefficient, dans $u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}-1\right]^{n},$ est $\left[\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}-1\right]^{n},$ pourvu que dans le développement de cette quantité on applique à la caractéristique $\Delta$ les exposants de puissances de $\Delta y_{x},$ et qu’ainsi, au lieu d’une puissance quelconque $(\Delta y_{x},)^{r},$ on écrive $\Delta ^{r}y_{x}\,;$ on aura donc avec cette condition

(1)

$'\Delta ^{n}y_{x}=\left[\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}-1\right]^{n}.$

Si l’on désigne par la caractéristique $'\Sigma$ l’intégrale finie, lorsque $x$ varie de $i,\ '\Sigma ^{n}y_{x}$ sera, par le n^o 2, le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de la fonction $u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{-n},$ en faisant abstraction des constantes arbitraires que l’intégration introduit ; or on a

$u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{-n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}-1\right]^{-n}\,;$

de plus, le coefficient de $t^{x}$ dans $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{-r}$ est $\Sigma ^{r}y_{x},$ en faisant abstraction des constantes arbitraires ; ce coefficient dans $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{r}$ est $\Delta ^{r}y_{x}\,;$ on aura donc

(2)

$'\Sigma ^{n}y_{x}=\left[\left(1+\Delta y_{x}\right)^{i}-1\right]^{-n},$