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différences partielles,

(1)

$y_{r,x}-y_{r-1,x-1}+{\frac {1}{2^{n}}}y_{r,x-n}=0\,;$

cette équation s’étend depuis $r=2$ jusqu’à $r=n-2.$

On a, par le raisonnement précédent, l’équation suivante :

$y_{n-1,x}={\frac {1}{2}}y_{n-2,x-1}+{\frac {1}{2^{2}}}y_{n-3,x-2}+{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{0,x-n+1}.$

Mais l’expression précédente de $y_{r,x}$ donne

${\frac {1}{2}}y_{n-2,x-1}={\frac {1}{2^{2}}}y_{n-3,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{0,x-n+1}+{\frac {1}{2^{n}}}y_{n-1,x-n}.$

En retranchant cette équation de la précédente, on aura

$y_{n-1,x}-y_{n-2,x-1}+{\frac {1}{2^{n}}}y_{n-1,x-n}=0\,;$

ainsi l’équation (1) subsiste dans le cas de $r=n-1.$

Le raisonnement précédent conduit encore à cette équation

$y_{n,x}={\frac {1}{2}}y_{n-1,x-1}+{\frac {1}{2^{2}}}y_{n-2,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{1,x-n+1},$

ce qui donne

${\frac {1}{2}}y_{n,x-1}={\frac {1}{2^{2}}}y_{n-1,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}y_{1,x-n}.$

En retranchant cette équation de celle-ci, que donne l’expression générale de $y_{r,x},$

$y_{1,x}={\frac {1}{2}}y_{0,x-1}+{\frac {1}{2^{2}}}y_{n-1,x-2}+\ldots +{\frac {1}{2^{n-1}}}y_{2,x-n+1},$

et faisant ${\frac {1}{2}}\left(y_{0,x}+y_{n,x}\right)={\overline {y}}_{0,x}$ on aura

$y_{1,x}-{\overline {y}}_{0,x-1}+{\frac {1}{2^{n}}}y_{1,x-n}=0.$

L’équation (1) subsiste donc encore dans le cas même de $r=1$ pourvu que l’on y change $y_{0,x}$ dans ${\overline {y}}_{0,x}.$ On doit observer que ${\overline {y}}_{0,x}$ est la probabilité de gagner la partie au coup $x$ de chacun des deux premiers