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ce qui donne

$i={\frac {\log {\cfrac {\sqrt[{n}]{2}}{{\sqrt[{n}]{2}}-1}}}{\log {\cfrac {n}{n-5}}}}.$

Ces logarithmes peuvent être tabulaires. En faisant $n=90,$ on trouve

$i=85{,}204,$

ce qui diffère très peu de la valeur $i=85{,}53$ que nous avons trouvée ci-dessus.

5. Une urne étant supposée renfermer le nombre $x$ de boules, on en tire une partie ou la totalité, et l’on demande la probabilité que le nombre des boules extraites sera pair.

La somme des cas dans lesquels ce nombre est l’unité égale évidemment $x$, puisque chacune des boules peut également être extraite. La somme des cas dans lesquels ce nombre égale $2$ est la somme des combinaisons des $x$ boules prises deux à deux, et cette somme est, par le n^o 3, égale à ${\frac {x(x-1)}{1.2}}.$ La somme des cas dans lesquels le même nombre égale $3$ est la somme des combinaisons des boules prises trois à trois, et cette somme est ${\frac {x(x-1)(x-2)}{1.2.3}},$ et ainsi de suite. Ainsi les termes successifs du développement de la fonction $(1+1)^{x}-1$ représenteront tous les cas dans lesquels le nombre des boules extraites est successivement $1,2,3,\ldots ,$ jusqu’à $x\,;$ d’où il est facile de conclure que la somme de tous les cas relatifs aux nombres impairs est ${\frac {1}{2}}(1+1)^{x}-{\frac {1}{2}}(1-1)^{x},$ ou $2^{x-1},$ et que la somme de tous les cas relatifs aux nombres pairs est ${\frac {1}{2}}(1+1)^{x}+{\frac {1}{2}}(1-1)^{x}-1,$ ou $2^{x-1}-1.$ La réunion de ces deux sommes est le nombre de tous les cas possibles ; ce nombre est donc $2^{x}-1\,;$ ainsi la probabilité que le nombre des boules extraites sera pair est ${\frac {2^{x-1}-1}{2^{x}-1}},$ et la probabilité que ce nombre sera impair est ${\frac {2^{x-1}}{2^{x}-1}}\,;$ il y a donc de l’avantage à parier avec égalité pour un nombre impair.

Si le nombre $x$ est inconnu, et si l’on sait seulement qu’il ne peut