Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/512

Pour cela, considérons le produit

$\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{mx\varpi {\sqrt {-1}}}\times \int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{m^{(1)}x\varpi {\sqrt {-1}}}\times \ldots \times \int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{m^{(s-1)}x\varpi {\sqrt {-1}}},$

le signe $\int$ s’étendant à toutes les valeurs de $x,$ depuis la valeur négative extrême de $x$ jusqu’à sa valeur positive extrême. $\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)$ est, comme dans les numéros précédents, la probabilité d’une erreur $x$ dans chaque observation ; $x$ étant supposé, ainsi que $a,$ formé d’une infinité de parties prises pour unité. Il est clair que le coefficient d’une exponentielle quelconque $c^{l\varpi {\sqrt {-1}}},$ dans le développement de ce produit, sera la probabilité que la somme des erreurs des observations, multipliées respectivement par $m,m^{(1)},\ldots ,$ c’est-à-dire la fonction $(m),$ sera égale à $l\,;$ en multipliant donc le produit précédent par $c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}},$ le terme indépendant de $c^{\varpi {\sqrt {-1}}}$ et de ses puissances, dans ce nouveau produit, exprimera cette probabilité. Si l’on suppose, comme nous le ferons ici, la probabilité des erreurs positives la même que celle des erreurs négatives, on pourra, dans la somme $\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{mx\varpi {\sqrt {-1}}},$ réunir les termes multipliés, l’un par $c^{mx\varpi {\sqrt {-1}}},$ et l’autre par $c^{-mx\varpi {\sqrt {-1}}}\,;$ alors cette somme prend la forme $2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos mx\varpi .$ Il en est de même de toutes les sommes semblables. De là il suit que la probabilité que la fonction $(m)$ sera égale à $l$ est égale à

$(i)\quad {\frac {1}{2\pi }}\int d\varpi$

$\times \left\{{\begin{aligned}&c^{-l\varpi {\sqrt {-1}}}\times 2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos mx\varpi \\&\times 2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos m^{(i)}x\varpi \times \ldots \times 2\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos m^{(s-1)}x\varpi \end{aligned}}\right\},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi =-\pi$ jusqu’à $\varpi =\pi .$ On a, en réduisant les cosinus en séries,

$\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)\cos mx\varpi =\int \varphi \left({\frac {x}{a}}\right)-{\frac {1}{2}}m^{2}a^{2}\varpi ^{2}\int {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)+\ldots .$

Si l’on fait ${\frac {x}{a}}=x'$ et si l’on observe que, la variation de $x$ étant