Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814/Éléments - Livre 7
F. Peyrard, 1814.
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Proposition 1. Deux nombres inégaux étant proposés, le plus petit étant toujours retranché du plus grand, si le reste ne mesure celui qui est avant lui que lorsque lʼon a pris lʼunité, les nombres proposés seront premiers entrʼeux.
Proposition 2. Deux nombres non premiers entrʼeux étant donnés, trouver leur plus grande commune mesure.
Corollaire proposition 2. Il suit évidemment de là, que si un nombre en mesure deux autres, il mesure aussi leur plus grande commune mesure.
Proposition 3. Trois nombres non premiers entrʼeux étant donnés, trouver leur plus grande commune mesure.
Corollaire proposition 3. Il suit évidemment de là que si un nombre en mesure trois autres, il mesurera aussi leur plus grande commune mesure.
Proposition 4. Tout nombre est ou une partie ou plusieurs parties de tout autre nombre, le plus petit du plus grand.
Proposition 5. Si un nombre est une partie dʼun nombre, et si un autre nombre est la même partie dʼun autre nombre, leur somme sera aussi la même partie de leur somme, qu’un seul l’est d’un seul.
Proposition 6. Si un nombre est plusieurs parties d’un nombre, et si un autre nombre est les mêmes parties d’un autre nombre, leur somme sera les mêmes parties de leur somme, qu’un seul l’est d’un seul.
Proposition 7. Si un nombre est la même partie d’un nombre, que le nombre retranché lʼest du nombre retranché, le nombre restant sera la même partie du nombre restant, que le tout lʼest du tout.
Proposition 8. Si un nombre est les mêmes parties d’un nombre, que le nombre retranché l’est du nombre retranché, le nombre restant sera aussi les mêmes parties du nombre restant, que le tout l’est du tout.
Proposition 9. Si un nombre est une partie dʼun nombre, et si un autre nombre est la même partie d’un autre nombre, le premier est, par permutation, la même partie ou les mêmes parties du troisième, que le second l’est du quatrième.
Proposition 10. Si un nombre est les mêmes parties d’un nombre, qu’un autre l’est d’un autre, le premier sera aussi, par permutation, les mêmes parties ou la même partie du troisième, que le : second l’est du quatrième.
Proposition 11. Si le tout est au tout comme le nombre retranché est au nombre retranché, le nombre restant sera aussi au nombre restant comme le tout est au tout.
Proposition 12. Si tant de nombres qu’on voudra sont proportionnels, un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents.
Proposition 13. Si quatre nombres sont proportionnels ; ils seront encore proportionnels par permutation.
Proposition 14. Si l’on a tant de nombres qu’on voudra, et d’autres nombres égaux en quantité aux premiers, et si ces nombres étant pris deux à deux sont en même raison, ils seront aussi en même raison par égalité.
Proposition 15. Si lʼunité mesure un nombre autant de fois quʼun autre nombre mesure un autre nombre ; par permutation, lʼunité mesurera autant de fois le troisième nombre que le second mesure le quatrième.
Proposition 16. Si deux nombres se multipliant l’un et l’autre en produisent d’autres ; les nombres produits seront égaux entrʼeux.
Proposition 17. Si un nombre multipliant deux nombres en produit d’autres ; les nombres produits auront la même raison que les nombres multipliés.
Proposition 18. Si deux nombres multipliant un autre nombre en produisent d’autres ; les nombres produits auront la même raison que les multiplicateurs.
Proposition 19. Si quatre nombres sont proportionnels, le nombre produit parle premier et par le quatrième sera égal au nombre produit par le second et par le troisième ; et si le nombre produit par le premier et par le quatrième est égal au nombre produit par le second et par le troisième, les quatre nombres seront proportionnels.
Proposition 20. Si trois nombres sont proportionnels, le produit des extrêmes est égal au quarré du moyen ; et si le produit des extrêmes est égal au quarré du moyen, les trois nombres seront proportionnels.
Proposition 21. Les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux mesurent également ceux qui ont la même raison avec eux, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit.
Proposition 22. Si l’on a trois nombres et autant d’autres nombres, si ces nombres pris deux à deux sont en même raison, et si leur proportion est troublée, ces nombres seront en même raison par égalité.
Proposition 23. Les nombres premiers entrʼeux sont les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux.
Proposition 24. Les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux, sont premiers entr’eux.
Proposition 25. Si deux nombres sont premiers entr’eux, le nombre qui mesure l’un d’eux sera premier avec l’autre.
Proposition 26. Si deux nombres sont premiers avec quelque nombre, le produit de ces deux nombres sera un nombre premier avec ce nombre.
Proposition 27. Si deux nombres sont premiers entrʼeux, le quarré de l’un d’eux est premier avec l’autre.
Proposition 28. Si deux nombres sont premiers avec deux autres, l’un et l’autre avec l’un et l’autre, leurs produits seront premiers entr’eux.
Proposition 29. Si deux nombres sont premiers entr’eux, et si ces nombres étant multipliés par eux-mêmes font des nombres, les produits de ces nombres seront premiers entr’eux ; et si les nombres proposés multipliant les produits font d’autres nombres, ces derniers seront aussi premiers entr’eux, et il en sera toujours ainsi pour les derniers nombres qui auront été produits.
Proposition 30. Si deux nombres sont premiers entrʼeux ; leur somme sera un nombre premier avec chacun d’eux ; et si leur somme est un nombre premier avec chacun d’eux, les deux nombres proposés seront premiers entr’eux.
Proposition 31. Tout nombre premier est premier avec tout nombre qu’il ne mesure pas.
Proposition 32. Si deux nombres se multipliant l’un l’autre font un nombre, et si queique nombre premier mesure leur produit, il mesurera un des nombres proposés.
Proposition 33. Tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier.
Proposition 34. Tout nombre est premier, ou il est mesuré par quelque nombre premier.
Proposition 35. Tant de nombres qu’on voudra étant donnés, trouver les plus petits de ceux qui ont la même raison avec eux.
Proposition 36. Deux nombres étant donnés, trouver le plus petit qu’ils mesurent.
Proposition 37. Si deux nombres mesurent quelque nombre, le plus petit qu’ils mesurent mesurera ce même nombre.
Proposition 38. Trois nombres étant donnés, trouver le plus petit quʼils mesurent.
Proposition 39. Si un nombre est mesuré par quelque nombre, le nombre mesuré aura une partie dénommée par le nombre qui le mesure.
Proposition 40. Si un nombre a une partie quelconque, ce nombre sera mesuré par le nombre dénommé par cette partie.
Proposition 41. Trouver un nombre, qui étant le plus petit, ait des parties données.