LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE. 417
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Ἐπεὶ γοἓρ δΑ τὸν Γ πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκε" καὶ Τ ο’ἔρω τῦν Α πολλαπλασιἐσας πὲὶν Δ πεποίηκε. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ Τʼ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ἑ πεποίηκεν" οἷριθμὄς δὴ Τ δύο ἀριθμοὺς τοὺς Α. Β πολλαπλασιάσας τοὺς Δ : Ε πεποίηκεν" ἔστιν ἄρα ὥὡς δ A πρὸς τὸν Β οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε. Οπερ ἔδει δεῖξαι. |
Quoniam enim A ipsum T mulüplicans ipsum À fecit ; et Iʼ Igitur ipsum A multiplicans ipsum À fecit. Propter eadem utique et T ipsum B multiplicans ipsum E fecit ; numerus utique T duos numeros A, B mulüplicans ipsos A, E fecit ; estigitur ut À ad B ita A ad E. Quod oportebat ostendere. |
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιθ´. | PROPOSITIO XIX. |
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Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τετάρτου γιψόμενος ἀριθμος ἰσος ἔσται τῷ ἐκ τοῦ δευτέρου καὶ τρίτου γινομένῳ ἀριθμῷ" καὶ ἐἂν ο ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τετάρτου γινομενος αρι μος ἰσὸς ῃ ʼΤῳ εἰ τΤου ευτερου καὶ τρίτου. οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται. Εστωσαν τέσσαρες ἀριβμοὶ ἀνάλογον οἷ Α, Β, |
Si quatuor numeri proporlionales sunt, ipse ex primo et quarto factus numerus equalis erit ipsi ex secundo et. tertio facto numero ; et si ipse ex primo et quarto factus numerus zqua- lisest psi ex secundo et tertio, quatuor : numert proportionales erunt. |
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Έστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α. Β, |
Sint quatuor numeri proportionales A, B, |
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Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν B οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ ; καὶ ὁ μὲν Α τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν Ε |
T, A, ut A ad B ita T ad A, et A quidem ipsum A multiplicans ipsumE faciat, ipse vero B |
Puisque 4 multipliant T produit Δ, r multipliant 4 produit A (16. 7). Par la même raison r multipliant 8 produit E ; donc r multipliant les deux nombres A, B produit les nombres Δ, E ; donc A est à B, comme A est à E (17. 7). Ce quʼil fallait démontrer.
PROPOSITION XIX.
Si quatre nombres sont proportionnels, le nombre produit parle premier et par le quatrième sera égal au nombre produit par le second et par le troisième ; et si le nombre produit par le premier et par le quatrième est égal au nombre produit par le second et par le troisième, les quatre nombres seront proportionnels.
Soient les quatre nombres proportionnels 4, B, T, A ; que 4 soit à B comme T
