Euclide - Les Œuvres, (trad Peyrard), 1814, I/Éléments - Livre 7/Proposition 7
C. F. Patris, (1, p. 449-450).
| ΠΡΟΤΑΣΙΣ ζ | PROPOSITIO VII. |
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Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ἢ ὁπερ ἀφαιρε- θεὶς οἷφʼοωρεθἔντοςʼ καὶ ὃ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἐσται. ὁπερ 0 ὁλος τοῦ ὁλου. |
Si numerus numeri pars est, que ablatus ablati ; et reliquus reliqui eadem pars erit ; qüz totus totius. |
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Αριθμὸς ᾿γὰρ ὃ ΑΒ ἀριθμοῦ τοῦ ΤΔ μέρος ἐστῷ » ὁπὲρ αφοωρεθεἶς ο ΑἙ αφαιμθεντος τοῦ ΓΖʼ λέγω ὅτι καὶ ὃ λριπὸς ὃ ἘΒ λοιποῦ τοῦ 2Δ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν, ὕπερ ὁ ὁλοὸς ὃ ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ. |
Numerus enim AB numeri lʼA pars sit, quæ ablatus AE ablati TZ ; dico et reliquum EB reliqui ZA eamdem partem esse, qua. totus AB tolius ΓΔ. |
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Ο γαρ μέρος ἐστῖν ο ΑE του ΓΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστω καὶ ο ἘΒ του ΤῊΗ. Καὶ ἐπεῖ ὁ μερος ἐστιν Ο ΑἙῈ τοῦυ ΤΖ. τὸ αυτὸ μέρος εὅτι Καὶ ο ἘΒ τοῦ ΤΗ" ὁ ἀρὰ μέρος ἐστὶν ο ΑΕ τοὺ ΤΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ. ὃ δὲ μέρος ἐστὶν ο ΔΑῈ τοὺῦ ΤΓΖ. 5 τὸ αυτὸ μέρος υπο- κται καὶ ὃ ΑΒ τοῦ ΓΔ᾽ ὃ ἄρα μέρος ἐστὶ καὶ |
Que enim pars est AE ipsius LZ, eadem pars sit et. EB ipsius TʼH. Et quoniam que pars est AE ipsius TZ, eadem pars est EB Ipsius TʼH ; qua igitur pars est AE ipsius TZ, eadem pars est et AB ipsius HZ3 quas autem pars est AE ipsius TZ, eadem pars ponitur et AB ipsius lʼA ; qua igitur pars estet AB ipsius
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ὁ ΑΒ τοῦ ΗΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὃὁ ΑΒ τοῦ ΓΔ" ὁ ΑΒ σρω επατσρου τῶν ΗἨΖ. ΤΔ τὸ αὐτὸ μερος ἐστίν" ἴσος αΡα. ἐστὶν ὁ ΗΖ τῷ ΤΔ. Κοινὸς ἀφῃρήσθω ὃ ΤΖʼ λοιπὸς ἄρα ὁ ΗΓ λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστὶν ἴσος", Καὶ ἐπεὶ ὃ, μέρος ἐστὶν ὁ ΑἙ τοῦ ΓΖ. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶΐ καὶ ὁ ἘΒ τοῦ ΗΓ. ἴσος δὲ ὃ ΗΓ τῷ" ΖΔ᾽ ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΑΕ τοῦ |
HZ, eadem pars est et AB ipsius ΓΔ ; ipse Ap igitur utriusque ipsorum HZ, IʼA eadem ars est ; equalis igitur est HZ ipsi A, Communis aufs. ratur IZ ; equalis. Et quoniam qua pars est AE Ipsius rz, eadem pars est et EB ipsius HT » qualis autem HU ipsi £A ; qua igitur pars est AE ipsius reliquus igitur HL reliquo ZA |
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ΓΖ, τὸ αὑτὸ μερὸς ἐστί καὶ ! ὁ ἘΒ τοὺυ ΖΔ. Αλλὰ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΑἙῈ τοῦ ΤΖ, τὸ αὐτοὸ μέρος ἐστι καὶ 6 ΑΒ τοῦ ΤΔʼ ο ἀρῶ μερος ἐστὶν Ο ἘΒ τοὺῦ ΖΔ, τὸ αὐτο μερος ἐστι καὶ ο ΑΒ του ΓΔ- καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ἘΒ λοιποῦ τοῦ ΖΔ τὸ αὐτὸ μερὸς ἐστιν οπερ ὁ ὁλος ο ΑΒ ὁλοὺυ του ΤΑ. Οσερ ἐδει δεῖζαι. |
lʼZ, eadem pars est et EB ipsius ZA. Sed que pars est AE ipsius TZ, eadem pars est et AB ipsius TA ; quz igitur pars est EB ipsius ZA, eadem pars est et AB ipsius ΓΔ ; et reliquus igitur EB reliqui ZA eadem pars est quæ totus AB totus TʼÀ, Quod oportebat ostendere. |
PROPOSITION VII.
Si un nombre est la même partie d’un nombre, que le nombre retranché lʼest du nombre retranché, le nombre restant sera la même partie du nombre restant, que le tout lʼest du tout.
Que le nombre AB soit la même partie du nombre ra, que le nombre retranché AE l’est du nombre retranché TZ ; je dis que le nombre restant EB est la même partie du nombre restant ZA, que le nombre entier AB lʼest du nombre entier TA.
Que EB soit la même partie de rH, que AE lʼest de Tz. Puisque AE est la même partie de TZ, que EB lʼest de rH ; le nombre AE est la même partie de TZ, que AB l’est de HZ (5. 7) ; mais on a supposé que AE est la même partie de TZ, que AB l’est de ra ; donc AB est la même partie de Hz, que AB l’est de ra ; donc 4B est la même partie de HZ et de TA ; donc HZ est égal à ra. Retranchons la partie commune TZ ; la partie restante Hr sera égale à la partie restante ZA. Mais ÂE est la même partie de rz, que 1 l’est de Hr, et Hr est égal a ZA ; donc AE est la même partie de rz, que EB l’est de ZA. Mais AE est la même partie de TZ, que 48 l’est de ra ; donc EB est la même partie de ZA, que 4B l’est de ra ; donc le nombre restant EB est la même partie du nombre restant ZA, que le nombre entier AB l’est du nombre entier ΓΔ, Ce qu’il fallait démontrer.